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14 janvier 2014 2 14 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet a pour sujet la suite des nombres : 

 

1, 1/2 , 1/3, 1/4 , 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, etc......

 

Cette suite de nombre, notons la (un), telle que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 :


Décroissance de la suite

Cette suite est décroissante. En effet, considérons deux termes consécutifs quelconques un et un+1 pour un n au moins égal à 1. On a

 

59

Or


car n + 1 ≥ n ≥ 1 > 0 implique n(n + 1) > 0.

 

Ainsi un >un+1 pour tout n au moins égal à 1. Autrement dit, (un) est une suite décroissante.

 

S'approcher de zéro

Les termes de cette suites s'approchent aussi près que possible de zéro sans jamais l'atteindre. Atteindre zéro est imposible car le numérateur de


est 1 quelquesoit n !

 

Soit ε>0 un nombre ("ε" se lit epsilon). On peut choisir ε aussi petit que l'on veut, et trouver une valeur n pour laquelle 

 

 

 

Puisque n>0, cela est équivalent à

Et il suffit pour cela de prendre

Par exemple, pour n>1/8,125=8, on a 1/n<0,125.

 

60.png

Pour n plus grand que 8, tous les termes de la suite sont à moins de 0,125 de zéro.

Notion de convergence vers zéro

Nous venons de voir que la suite (un) converge vers zéro. Voici la définition 

 

Définition. Si pour tout ε>0, il existe un entier naturel N tel que :

  • n≥ N implique  -ε<un<ε

alors on dit que (un) converge vers zéro.

 

Remarque. -ε<un<ε implique sur un dessin que les terme de la suite sont tous dans le disque centré en zéro et de rayon ε à partir d'un certain rang.

 

Si (un) converge vers zéro, on dit aussi que la limite de (un) est zéro, ce qui se note



 

A suivre : convergence d'une suite.....

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7 janvier 2014 2 07 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet fait suite à Suites arithmético-géométriques .

 

Aujourd'hui je voudrais trouver un formule permettant d'obtenir le terme d'indice n d'une suite arithmético-géométrique.

 

Soit (un) une suite arithmético-géométrique de terme initiale u0. Par définition, il existe q et r tels que pour tout entier naturel :

(1)           un+1=qun+r 

 

On suppose que q est différent de 1 (sinon la suite est simplement arithmétique).

 

Pour n>0, on a aussi :

(2)            un=qun-1+r 

 

De (1) et (2) on déduit que pour n>0, on a

 

(3)            un+1-un=q(un-un-1


Posons alors pour n supérieur ou égal à 0 : gn=un+1-un.

 

La suite (gn) ainsi formée est d'après (3) une suite géométrique de raison q. D'après Suite géométrique , on a donc pour tout n>0 :


(4)           gn=qng0

Donc un+1-un=qng0 pour tout pour n>0.

 

Ici je vais utiliser une astuce :


(un+1-un)+(un-un-1)+........+ (u2-u1)+(u1-u0) =
un+1 -un+un   -un-1+...... ..+ u2  -u1+u1 - u0 =un+1- u0

 

Ainsi


qng0+qn-1g0+.....+qg0+g0 = un+1- u0

 

Soit pour n>0, d'après Suites géométriques (somme 1)


D'où pour n>0,

Or g0=u1-u0=qu0+r-u0=(q-1)u0+r donc pour tout n>0

Pour n>1, on a donc :

 

 

Cette formule est valable aussi pour n=1 car


 

On a donc démontré la propriété suivante


 

Propriété.

 

Soit (un) une suite arithmético-géométrique de terme initiale u0. On suppose qu'il existe q et r tels que pour tout entier naturel :

un+1=qun+r 

avec q différent de 1.

 

Alors pour tout n supérieur ou égal à 1, on a

 

 


A suivre.... Suites géométrico-arithmétiques.

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5 janvier 2014 7 05 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet fait suite à Suites arithmético-géométriques

 

Une suite arithmético-géométrique est une suite récurente à laquelle on donne une raison géométrique puis une raison arithmétique. Je rappelle la définition :

 

Définition 1. Une suite arithmético-géométrique est une suite (hn) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par

(ag)                                      hn=qhn-1+r

où q et r et h0 sont des réels.

 

On peut de même imaginer la définition dune suite géométrico-arithmétique :
une suite récurente à laquelle on donne une raison arithmétique puis une raison géométrique.

 

Suite géométrico-arithmétique

 

Définition 2. Une suite géométrico-arithmétique est une suite (vn) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par

(ga)                                      vn=q(hn-1+r)

où q et r et v0 sont des réels.

 

On a donc vn=q(hn-1+r)=qhn-1+qr=qhn-1+q', où q'=qr. Ceci montre qu'une suite géométrico-arithmétique est une suite arithmético-géométrique. 

 

Suite arithmético-arithmétique

 

De même, voyons ce que peuvent être les suites arithmético-arithmétiques et les suites géométrico-géométriques.

 

Définition 3. Une suite arithmético-arithmétique est une suite (bn) définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par

 

(aa)                                      bn=(bn-1+r) + s

où r et s et b0 sont des réels.

 

 

Définition 4. Une suite géométrico-géométrique est une suite (fn) définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par

 

(gg)                                      fn=p(qfn-1)  

où q et p et f0 sont des réels.

 

On a bn=bn-1+(r + s) et fn=(pq)fn-1   donc  une suite arithmético-arithmétique est une suite arithmétique et une suite géométrico-géométrique est une suite
géométrique.

 

On peut faire pire

 

Définition 5.
Une suite géométrico-(géométrico-arithmétique) est une suite (vn) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par

(g(ga))                                      vn=p(q(hn-1+r))

où q et r et v0 sont des réels.

 

On voit sans problème que c'est une suite géométrico-arithmétique.

 

........ etc.....

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31 décembre 2013 2 31 /12 /décembre /2013 12:00

Cet article fait suite à Suite géométrique   mais si vous voulez voir tout ce qui concerne les suites sur ce blog, allez sur cette page s'il vous plait.

 

Considérons une suite géométrique g=(gn) de terme initiale g0 et de raison q.

 

On supposera que q≠1 (en effet dans le  cas q=1 la suite est constante).

 

Si k est un entier naturel, on a

gk=qkg0

 

 

Alors si n est un entier au moins égal à 2, on a

 

g0+g1+.....+gk +.....+gn=g0+qg0+...+qkg0.+qng0 = g0(1+q+q²+....+qk+....+ qn)


Avec la notation Σ  cela donne


Il suffit donc de savoir calculer la somme entre parenthèses (remarquons pour la version utilisant la notation Σ les parenthèses sont inutiles, en sous-entendant que le calcul de la somme Σ est prioritaire).

 

Notons cette somme entre parenthèses Sn. Soit

Sn=1+q+q²+....+qk+....+ qn

 

ou


L'astuce pour la calculer est la suivante :

  • multiplions cette expression par q puis
  • retrachons à la somme de départ le résultat obtenue

Cela donne :

  • qSn=q×(1+q+q²+....+qk+....+ qn )=q×1+q×q+q×q²+....+q×qk+....+q× qn = q+q²+q³+....+qk+1+...+qn+1

    ou
  • D'où
    1+q+q²+....+qk+....+ qn - q×(1+q+q²+....+qk+....+ qn ) = 
     
    1 + q + +....+ qk +....+ qn
      - q - -....- qk -....- qn - qn+1 =  
    1                 - qn+1    

 Soit  Sn-qSn=1-qn+1

ou encore (1-q)Sn=1-qn+1

 

Comme q≠1, 1-q≠0 et cela donne


Pour obtenir la somme des termes de (gn), il suffit de multiplier ce résultat par g0.

 

On a donc démontré la propriété suivante

 

Propriété. Si q≠1et si (gn) est une suite géométrique de terme initiale g0 et de raison q, on a pouir n entier au moins égal à 2 :



 

 

Remarque. Avec la notation Σ, on a une version plus compacte, mais dont il faut bien comprendre chaque étape (prendre le temps)


Or

et

Ainsi

 


 


 

Même si cette notation se veut plus rigoureuse, elle est quand même plus compliquée que celle utilisée précédemment, et pas plus claire dns certains cas. Ne pas hésiter à poser des questions en commentaires...

 



 

 

 

 

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15 décembre 2013 7 15 /12 /décembre /2013 10:00

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique : l'anecdote de Gauss.

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpgPour introduire la somme des premiers termes d'une suite géométrique, mon prof de 1ère S, nous avait fait calculé la somme suivante :

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

Il nous avait raconté l'anecdote célèbre sur le mathématicien Gauss (mais que certains ont entendu sur d'autres illustres mathématiciens...), que, pour ma part j'aime à croire juste. Gauss alors âgé de 5 ans, puni par son maître devait calculer cette somme :

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

L'histoire dit alors que le professeur ayant donné ce calcul pensait sans doute être tranquille un certain temps. Il s'était bien trompé. L'enfant très doué et plutôt impertinent (mais aussi pertinent), avait calculé cette somme en deux coups de cuillère à pot en utilisant un truc tellement simple qu'il en est d'autant plus déroutant.

 

Voici ce truc : écrivons cette somme à rebours pour commencer et plaçons la juste sous la somme dans l'ordre initial

 

 

1

+

2

+

3

+

..............................

+

98

+

99

+

100

100

+

99

+

98

+

…..........................

+

3

+

2

+

1

 

 

Maintenant ajoutons ces deux sommes en associant 1 à 100, 2 à 99, 3 à 98, …...., 98 à 3, 99 à 2, 100 à 1.

 

On obtient

 

101

+

101

+

101

+

…..........................

+

101

+

101

+

101

 

C'est à dire 100 × 101. La somme de départ a été ajoutée à elle même, chaque terme est en double exemplaire. Donc la somme de départ

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

vaut donc la moitié de 100 × 101 :


Ainsi même en donnant la somme des 1000 ou des 10000 premiers nombres, le maître n'aurait pas réussi à se débarasser du génie plus de quelques minutes. En effet on peut facilement généraliser ce calcul, en trouver pour la somme des n premiers entiers strictement positifs  :

Remarques : La somme calculée est celle des n premiers termes de la suite (un) définie par u0=1 et un=un-1 + 1 (pour n au moins égal à 1), qui est la suite artihmétique de premier terme 1 et de raison 1.

Nous verrons dans un prochain article de ce blog que le truc de l'enfant Gauss peut être généralisé à toutes les suites arithmétiques, permettant ainsi de calculer la somme des premiers termes de toutes ces suites.

 

Ce nombre

correspond aussi au nombre de segments pouvant être tracés avec n points distincts (voir Nombre de diagonales d'un polygône (4) ) ou encore au nombre de couples possibles dans un ensemble de n personnes (plus tard sur ce blog). Y a-t-il un rapport entre ces quantités et la somme 1+2+......+n ?


 

Page des suites

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28 avril 2012 6 28 /04 /avril /2012 12:00

Précédemment : Suite arithmétique

 

Définition : Une suite géométrique est

 

Comme pour les suites arithmétiques, on peut faire un algorithme pour calculer les termes d'une suite géométrique. Rappelez-vous l'algorithme que j'avais mis pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme a, si l'on veut le k-ième terme :

 

Calculer le k-ième terme d'une suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, r, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b+r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b    

     Sortie : le k-ième terme de la suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

 

 

Avec les suites géométriques, il y a le même algortihme, mais en replaçant la ligne b reçoit b+r par b reçoit b×r 

 

Algorihme : récur_géom

 

Calculer le k-ième terme d'une suite géométrique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, q, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b×r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b     

     Sortie : le k-ième terme de la suite géométrique de raison r et de premier terme a.

 

 


Comme avec les suites arithmétiques, cet algorithme nécéssite k opérations si on cherche le (k-1)-ième terme. Heuresement, il y a là aussi une formule.
Je ne ferai pas la démonstration de cette formule. Il suffit de remplacer + par
×. Mais alors par quoi faut-il remplacer × ? Faisons un petit détour en repensant à la définition de multiplication.

 

 

Détour : Qu'est-ce que la multiplication ?

 

Supposons que l'on sache faire les addtions. On veut apprendre à faire une multiplication, non pas intuitivement mais mécaniquement, comme le ferait un programme. Si l'on fait la multiplication 7×5, on peut faire : 7+7+7+7+7, c''est ce que l'on fait quand on ne connaît pas encore bien les tables de mutliplication. (Il s'avère que c'est la même chose que 5+5+5+5+5+5+5, j'en parlerai un jour). Cela revient à ajouter 7 à chaque fois en partant de zéro. C'est une suite arthmétique de raison 7 et de premier terme 0 dont on cherche le 5è terme. J'ai comme l'impression qu'on tourne en rond là non ? On vient de voir qu'en fait faire une mutlplication de nombres entiers, c'était trouver un terme d'une suite arithmétique. Plus précisément, on a la définition :

 

Définition : Soient m et p deux nombres entiers naturels. Le produit de m par p est le p-ième terme de la suite arithmétique de raison m et de premier terme zéro.

 

Remarque : C'est aussi le m-ième terme de la suite artihmétique de raison p et de premier terme 0. J'en parlerai un autre jour promis.

 

Donc on a défini une multiplication grâce aux suites. Quand on répète plusieurs fois la même addition, on fait une multipliation, et quand on répète plusieurs fois une multiplication, on calcule ...... une puissance. Par exemple, 35×35×35×35×35 = 35⁵. La définition d'une puissance est clairement liée à celle de suite récurente.

 

Définition : Soient q et n deux nombres, n étant entier naturel. qn est le n-ième terme de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q.

 

On a donc finalement une formule donée par la propriété suivante.

 

Propriété : Le k-ième terme d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est le nombre a×qn

 

Remarque générale :


La propriété donnant le k-ième terme de la suite géométrique c'est finalement la définition d'un puissance avec un exposant entier. De même, la propriété donnant le k-ième terme d'une suite arithmétique, c'est la définition du produit de deux nombres entiers (j'y reviendrai...). Donc on a rien appris avec ces deux articles, juste du vocabulaire...

 

 

A suivre : suites arithmético-géométriques

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27 avril 2012 5 27 /04 /avril /2012 12:00

Précédemment : Suite

 

Définition : Une suite arithmétique est une suite (récurente) dont le premier terme est donné et dont les autres termes valent le précédent plus un nombre appelé raison.

 

Exemple : u0 = 5. La raison vaut 3. Alors u1= u0+3=5+3=8, u2= u1+3=11, u3=u2+3=14 etc.....

 

Algorithme : Calculer le k-ième terme d'une suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, r, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b+r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b     

     Sortie : le k-ième terme de la suite de raison r et de premier terme a.

 

      Cette algorithme fonctionne, mais pour calculer le 1 000 èterme d'une suite, je dois faire 999 additions, je calcule les 998 termes précédents, mais si seul le 1 000 m'intéresse, il y a sans doute une méthode plus rapide. Si je veux compter le nombre d'heure d'une semaine, je peux ajouter 24h pour chaque jour de cette semaine, ou bien je fais 24 fois 7 et j'obtiens le résultat. A un détail près, supposons que 32h ont passé, c'est le premier terme de la suite u0=32, et que chaque jour  j'ajoute 24 heures. J'ai une suite arithmétique de premier terme 32 et de raison 24. Alors une semaine après, j'obtiens u7=32+24×7=200. Cela m'a pris 2 opérations. 

 

En fait il y a la formule donnée dans le propriété ci-dessous :

 

Propriété : Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors uk=u0+kr pour tout k entier naturel.

 

Preuve. On utilise pour cette preuve la propriété de récurrence : Principe de récurrence

Pour k=0, cette formule est vraie. Suppossons là vraie au rang i. Alors ui+1=ui+r.

Mais d'après l'hypothèse de récurence, on a donc ui+1=u0+ir+r=u0+i(r+1).

FIN DEMONSTRATION.

 

 

A suivre : suites géométriques

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14 juillet 2011 4 14 /07 /juillet /2011 12:00

Différents exemples de suites ont déjà été vus sur ce blog :

Dans cet article, je donne la définition d'une suite et le vocabulaire à partir de quelques exemples simples. Il n'est pas nécessaire d'avoir lu les articles vu plus haut.

Définition. Une suite de nombre (an)n est une famille de nombre numérotée (indexée) par 0,1,2,3.... (les entiers naturels).

 

Exemple 1.

 

Une suite peut être définie par une formule comme un=3n+2 . Les termes de la suite (un)n sont :
u0=2, u1=5, u2=8, u3=11 etc ....

 

 

Exemple 2.

La suite (bn)n des nombres pairs est donnée par la formule bn=2n.

Le suite (cn)n des nombres impairs est donnée par la formule cn=2n+1

 

Une suite peut aussi être définie de manière récursive : Comme La suite de Fibonacci et La suite de Conway . Ici pour calculer un terme, nous avons besoin de termes précédents.

Les deux exemples les plus usuels de suites définies de manière récursives sont les suites arithmétiques et les suites géométriques.

 

Exemple 3. (Suite arithmétique)

 

On peut définir une suite (tn)n de la manière suivante :

  • t0=4
  • tn+1=tn+5 (relation de récurence)

Cette suite est bien définie : on peut calculer tous les termes de cette suite. Ceci provient de la propriété de récurence.

 

Calcul de t10 :
t0=4 ; t1=9 ; t2=14 ; t3=19 ; t4=24 ; t5=29 ; t6=34 ; t7=39 ; t8=44 ; t9=49 ; t10=54.

 

Ici, on ajoute 5 à chaque terme pour obtenir le terme suivant.

 

 

 

Exemple 4.  

 

On peut définir une suite de la manière suivante

On calule les termes successivment en utilisant la relation de récurence :

 

 

 

 

A suivre ....

page des suites

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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