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10 juillet 2011 7 10 /07 /juillet /2011 16:00

Voir Problème de géométrie Japonais

 

Ici je réponds à la question 1 :


Trouver le volume d'un tétraèdre régulier
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif?uselang=fr
Ci-desssous, j'ai dessiné à main levé un tétraèdre régulier ABCD. Comme on ne le voit pas, les arêtes sont toutes de même mesure et les faces des triangles équilatéraux superposables.
http://desmond.imageshack.us/Himg842/scaled.php?server=842&filename=imgp4349.jpg&res=medium

 

Disons que les arêtes ont pour longueur a.

Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire. Ici, je choisis A comme sommet principal et BCD comme base. La formule du volume d'une pyramide est


 


Je trace la hauteur issue de A en rouge. Le pied de la hauteur est le point H de la face BCD.

 http://desmond.imageshack.us/Himg3/scaled.php?server=3&filename=imgp4350l.jpg&res=medium

On a donc d'après la formule

Calcul de l'aire de BCD

Le triangle BCD est équilatéral et les côtés mesurent a. Donc (voir  Aire d'un triangle équilatéral )

Calcul de AH

IMGP4352.JPG

 

Par définition de la hauteur, AH forme des triangles rectangles AHB, AHC, AHC. Dans le triangle rectangle AHB rectangle en H, je vais utiliser le théorème de Pythagore pour calculer AH. Avant cela je dois connaître HB. Je me place dans le triangle BCD.

1) Calcul de HB dans le triangle BCD

J'admettrai le fait suivant : le point H est le centre de la face BCD. Ceci peut s'expliquer en partant du fait que ABCD est un tétraèdre régulier ...... [Je le ferai peut-être plus tard]
Autrement dit, H est le points où concourent les 3 axes de symétries qui sont à la fois les trois médianes, les 3 médiatrices, les trois hauteurs, les 3 bissectrices.
triangle_equi_gravite.png

Le triangle BCD est composé des trois triangles DHB, BHC et CHD. Ces trois triangles ont la même aire. En effet, ils sont superposables. Pourquoi ? Parceque CB=BD=DC tout d'abord, et puis parceque les angles <HCB, <HBC, <HBD, <HDB, <HDC, <HCD sont tous égaux ( les droites passant par H sont les bissectrices).

Donc

Aire(BCD)=Aire(DHB)+Aire(BCH)+Aire(DHB)=3Aire(CHB).


Comme Aire(BCD)=(CB×DS)/2 et Aire(CHB)=(CB×HS)/2, on en déduit que

(CB×DS)/2=3×(CB×HS)/2

d'où HS=DS/3. Ainsi DH=(2/3)×DS

Maintenant pour calculer DH, il faut calculer DS. Cela se fait de la même manière que dans Aire d'un triangle équilatéral  grâce au théorème de Pythagore, [DS] étant la hauteur issue de D. On a

d'où

et de même

 

2)

IMGP4352.JPG

Dans le triangle AHB rectangle en H, on a

AB²=AH²+HB²
D'après la longueur de HB calculée ci-dessus
a²=AH²+(2²×3)a²/(6²)

Donc

AH²=a²(1-12/36)=(24/36)a²=(2/3)a²
d'où 

 

 

 

 

 

Calcul du volume

 

De ce qui précède, on obtient


D'où

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27 mai 2011 5 27 /05 /mai /2011 12:00

Dans l'article Tous les solides de Platon (1) : Inégalité   on avait abouti au fait que les solides de Platon vérifiaient nécessairement l'inégalité :

 

4>(p-2)(q-2)


où p et q déterminent le solide en question, p étant le nombre d'arête par face et q le nombre de faces se rejoignant en un sommet. Comme une face comporte au moins trois côté p est au moins égal à 3. q est au moins égal à 3 car il s'agit d'un solide non plat.

 

De l'inégalité, on a p-2<2 ou q-2<2, d'où p<4 ou q<4. Sinon (p-2)(q-2) serait au moins égal à 4. Voici les premiers cas envisageables :

  • p=3 et
    •  q=3 : C'est le tétraèdre régulier {3,3}
    •  q=4 : C'est le cube {3,4}
    •  q=5 : C'est l'icosaèdre {3,5}
  • p=4 et  q=3 : C'est l'octaèdre {4,3}
  • p=5 et q=3 : C'est le dodécaèdre {5,3}

 

Voir Solides de Platon.

 

Il ne peut donc pas y avoir d'autres solides de Platon que ces 5 là ! 


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11 mai 2011 3 11 /05 /mai /2011 12:00

Un solide convexe est régulier lorsque :

  • à chaque sommet, il y a exactement le même nombre de faces
  • les faces sont des polygones réguliers tous superposables

On dit alors que c'est un solide de Platon.

 

Notons p le nombre d'arête par face. Par exemple dans un cube, p=4 car les faces sont des carrés.

 

Notons q le nombre de faces se rejoignant en un sommet. Par exemple pour un cube q=3.

 

Dans un solide de platon, on a toujours p et q : {p,q}. Par exemple, pour un cube c'est {4,3}.

Pour un tétraèdre, c'est {3,3}.

 

Je vais énoncer la propriété suivante sans la démontrer :

 

Lemme : Dans un solide convexe, la somme des angles pour un même sommet ne dépasse pas 360°=2π (en radiants). 

 

[Pour vous en convaincre, essayez de faire des patrons]

 

Dans ce qui suit, je vais raisonner en radiants : π radiants=180°.

 

J'appelle cette propriété un lemme, elle sert à démontrer une autre propriété plus intéressante.

 

Dans un solide de Platon {p,q}, pour un sommet donné, il y a q faces. Les q faces sont des polygones réguliers à p côtés. On sait d'après Angles d'un polygone régulier que ces angles mesurent 180°-360°/p. En radiant cela donne :

somme_angle_Platn.png

D'après le lemme, un sommet étant donné, la somme des angles ayant pour sommet ce sommet est inférieure à 2π autrement dit :

ineg_Plat1.png

Succèssivement, on aboutit aux inégalités suivantes :

 

inegalites_Platn.png

 

En écrivant les 3 fractions avec le même dénominatueur, on obtient successivement :

ineg_3_Platn.png

 

Ceci nous permettra de trouver les valeurs possibles pour p et q puis de trouver tous les solides de Platon.

 

 

La suite ici.

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10 mai 2011 2 10 /05 /mai /2011 12:00

Dans un solide, il y des sommets et des arêtes. Pour un graphe le même vocabulaire est utilisé.

 

Si l'on part d'un solide, alors on peut toujours construire un graphe tel que :

  • Chaque sommet du solide correspond à un unique sommet du graphe
  • Chaque arête du solide reliant deux sommets correspond à une unique arête du graphe ayant pour extrémités les deux sommets correspondants.

Voici quelques exemples ci-dessous

 

IMGP4106.JPG  IMGP4107.JPG
 Schéma d'un cube représenté en perspective cavalière
 Graphe issue du cube

 

 

 IMGP4108.JPG IMGP4109.JPG 
 Schéma d'un tetraèdre représenté en perspective cavalière  Graphe provenant au tétraèdre

 

 

 IMGP4111.JPG  IMGP4114.JPG
 Schéma d'une pyramide représentée en perspective cavalière  Graphe induit par la pyramide.

 

 

Remarques :

  1. Dans un graphe, ce qui compte ce sont les arêtes et leurs extrémités. Pour un solide, on s'intéresse aussi aux mesures (angles, longueurs). Donc lorsque l'on passe d'un solide à un graphe, on perd des informations : si on donne un graphe à quelqu'un il ne sera pas capable de reconstruire le solide de départ.
  2. Deux solides différents peuvent donc avoir des graphes semblables, l'un pouvant être convexe et pas l'autre.
  3. En observant le graphe d'un solide, on peut voir les faces, mais au premier coup d'oeil il semble en manquer une, elle peut-être vue comme "ce qui est autour" du graphe.
  4. Pour chasue solide, il semble que l'on puisse faire des graphes dont les arêtes ne se coupent pas.

A suivre ...

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5 mai 2011 4 05 /05 /mai /2011 12:00

Comment tronquer un cube de façon à obtenir un solide composé de faces étant des polygones réguliers superposables lorsque ceux-ci sont de même type ?

Hexahedron

Comment découper le cube de la sorte ?

 

Les 6 faces d'un cube sont des carrés : en tronquant un cube, on otbient donc des octogone à la place des carrés. Je voudrai obtenir des octogones réguliers.

 

carre_s.png-copie-1.png

 Je note c la longueur d'une arête du cube.

 

En tronquant le cube, je coupe à la longueur s de chaque sommet.

 

Pour que l'octogone soit régulier, les huits côtés doivent être de même longueur. Je veux trouver la longueur de s.

 

carre_s_haut.png.png

 Puisque l'on va couper de la même façon à chaque coin, les segment rouges auront la même longueur.

 

EJI est un triangle rectangle en E et d'après le théorème de pythagore : s2+s2=t2

Donc t2=2s2

De plus les segments verts doivent être égaux donc

2s+t=c.

 

 

On a donc deux équations :

equa.png

L'équation (2) donne : t=c-2s. En utilisant cette expression pour t dans l'équation (1), on obtient :

(*)        (c-2s)2=2s2

En développant le membre de droite de (*) :

c2-4cs+4s2=2s2

(**)      c2-4cs+2s2=0

(**) est une équation du second degré dont l'inconnue est s. Le calcul du discriminant donne :

discri.png

Il est strictement positif donc (**) a deux solutions (une avec + devant la racine et une avec -) :

solutions.png

Mais s doit être inférieure à c. C'est donc la solution avec le - qui est la bonne : en effet

imposs

ce qui empèche la solution avec le + de correspondre au problème. Ainsi

sol.png

est la seule solution possible.

Je devrai vérifier que ma solution est correcte, mais je n'ai pas envie de le faire. Je devrai pour cela, exprimer t en fonction de ce s et puis vérifier que t et s sont solutions de (1) et (2).

 

On peut donc découper les faces carrés aux quatre coins pour obtenir des octogones réguliers à la place.

 

 Je n'ai pas vérifié que les octogones obtenues étaient réguliers, puisque je n'ai pas calculé les angles. Cela est facile à faire. On obtient bien 8 angles de (180-45)=135°.

 

Les autres faces 

 

Dans un cube, à chaque sommet se rencontrent 3 faces, en coupant ces sommets, on a donc 6 triangles équilatéraux supplémentaires.

 

Bilan

 

Dans un cube tronqué, il y a

  • Six face octagonales régulières
  • Huit faces trianguliares équilatérales.

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Truncatedhexahedron.gif
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27 avril 2011 3 27 /04 /avril /2011 12:00

Dans un polyèdre convexe :

S – A + F = 2


Avec S : nombres de sommets ; A : nombre d'arêtes ; F : nombre de faces.

 

Exemple 1. (voir octaèdre)

 

 

Solide Cube Octaèdre
Nombre de faces 6 8
Nombre d'arêtes 12 12
Nombre de sommets 8 6
Image  http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Hexahedron.gif/180px-Hexahedron.gif  http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Octahedron.gif/180px-Octahedron.gif

 

On a bien 8-12+6=6-12+8=2.

 

Exemple 2. (voir Tétraèdre tronqué)

Un tétraèdre tronqué comporte :

  • 4 faces hexagonales et 4 faces triangulaires : 8 faces au total.
  • 12 sommets
  • 18 arêtes.

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Truncatedtetrahedron.gif

On a 12-18+8=2.

 

Exemple 3 : Dodécaèdre tronqué triaugmenté

 

F = 62

S=75

A=135

On a 75-135+62 = 2

 

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/Triaugmented_truncated_dodecahedron.png

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24 avril 2011 7 24 /04 /avril /2011 12:00

Comment tronquer un cube de façon à obtenir un solide composé de faces étant des polygones réguliers superposables lorsque ceux-ci sont de même type ?

Hexahedron

 

 

On pourra regarder :

A suivre ...

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16 mars 2011 3 16 /03 /mars /2011 12:00

Nous avons vu ce qui se produisait lorsqu'on l'on tronquait un icosaèdre :

Que se passe-t-il lorsque l'on tronque un tetraèdre régulier de façon régulière ?

 

Voici un tétraèdre régulier : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif

Ses 4 faces sont des triangles équilatéraux. En coupant le tétraèdre aux sommets, chaque triangle est transformé en hexagone comme ci-dessous.

tri eq hexa

De plus chaque sommet du tétraèdre est transformé en triangle. Le nombre de sommets est donc multiplié par 3 : il y en a 12. Le nombre d'arêtes est multiplié par 3. Il y en a 18.

Pour résumer : un tétraèdre tronqué comporte :

  • 4 faces hexagonales et 4 faces triangulaires : 8 faces au total.
  • 12 sommets
  • 18 arêtes.

Voici un tétraèdre tronqué :

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Truncatedtetrahedron.gif

Le tétraèdre tronqué, comme l'icosaèdre tronqué font partie de la famille des solides d'Archimède. Ce sont des solides semi-réguliers convexes.

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9 mars 2011 3 09 /03 /mars /2011 12:00

Les solides de Platon (convexes) sont les solides tels que :

  • les faces sont des polygones réguliers (voir ici)
  • les faces ne se coupent pas (sauf aux arêtes)
  • le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet

Solides de Platon :

 

  • Le cube  : Il est composé de 6 faces carrées. A chaque sommet, il y a 3 faces.
  • Le tétraèdre régulier  : 4 faces (triangles équilatéraux). A chaque sommet, il y a 3 faces.
  • L'octaèdre régulier : 8 faces (triangles équilatéraux). A chaque sommet, il y a 4 faces.
  • Le dodécaèdre régulier : 12 faces (pentagones régulier). A chaque sommet, il y a 3 faces.
  • L'icosaedre régulier : 20 faces triangles équilatéraux). A chaque sommet, il y a 5 faces.

http://home.cc.umanitoba.ca/~gunderso/model_photos/da_vinci/open_faced_platonic_solids/platonic_06.jpg

Il n'y a pas d'autres solides de Platon. A suivre ici pour une démonstration

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2 mars 2011 3 02 /03 /mars /2011 12:00

Cet article fait suite à :

Dans le troisième article, nous avons vu que la seule façon de tronquer un icosaèdre pour obtenir des hexagones réguliers à la place des triangles est de partager les côtés du triangle en trois parties égales, puis de rejoindre les parties centrales pour obtenir l'hexagone.

 

Ce qu'il reste à voir : en coupant ainsi les triangles : 5 triangles à la fois (imaginons que l'icosaèdre soit en beurre ...) on a un pentagone. On obtient donc un pentagone à la place du sommet coupé : il faut qu'il soit régulier.

 

icos1.png icos11.png 
SABCDE semble être une pyramide régulière de base pentagonale ABCDE.

 On tronque l'icosaèdre avec le plan passant par les points T,U, V,W,Z.

SU = 1/3 SC, SV= 1/3 SD, SW=1/3 SE, SZ=1/3 SA, ST=1/3 SB.

Remarquons que d'après la propriété de Thalès : la pyramide STUVWZ est une réduction du solide SABCDE. Celui-ci est une pyramide.

 

 

Les points UVWZT sont équidistants de S. Comme ils, sont dans un même plan, il sont sur un même cercle, limitant la base d'un cône droit de sommet S.  Comme les côtés du pentagone sont de même longueur, c'est un pentagone régulier.

 

Cette "démonstration" manque de rigueur. Il faudrait expliquer pourquoi le découpage à 1/3 d'un sommet est possible mathématiquement, puis expliquer l'histoire du cone droit plus en détail. J'espère au moins que vous serez convaincu que l'on obtient bien un pentagone régulier.

 

En faisant le même découpage en tous les sommets de l'icosaèdre, on obtient des pentagones régulier.

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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