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4 décembre 2013 3 04 /12 /décembre /2013 17:18

Cet article fait suite à :

 

J'ai donné cette question à mes élèves de 1ère S après avoir vu la notion de combinaison (à suivre dans un prochain article de ce blog) :

 

Combien à polygone à n côtés possède-t-il de diagonales ?

 

http://img.over-blog.com/600x319/3/62/62/69/polygone/deca_poly10-copie-1.png

 

Voici la réponse que je leur ai proposé :

 

Un polygone à n côtés possède n sommets  (pourquoi ?). Une diagonale est un segment ayant pour extrémités deux sommets du polygones qui ne sont pas reliés par un côté. Avec n sommets, on peut former 

segments. Parmi ceux-ci, n sont déjà reliés par un côté. Donc le nombre de diagonales d'un polygone à sommets est

Or

 

On en  déduit que le nombre de diagonales est

 

 

J'avais donné ce problème à mes élèves de collège, certains avaient remarqué que le nombre de diagonales formaient une suite récurente particulière. Ils ne l'avaient pas tout à fait formulé ainsi.... cependant. Il sera question de cette suite dans un prochain article de ce blog. 

 

A suivre .....

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8 juillet 2011 5 08 /07 /juillet /2011 12:00

A partir d'un quadrilatère (en noir), j'ai formé un quadrilatère dont sommets sont les milieux des côtés (en rouge), les côtés reliant les milieux étant sur des côtés consécutifs du premier quadrilatère.

 

varignon1.png varignon2.png 
 Exemple 1
 Exemple 2

 

Quel est la particularité du nouveau quadrilatère obtenu ?

 

Cliquer ici pour la solution.

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29 juin 2011 3 29 /06 /juin /2011 12:00

A est le milieu de [DE], B est le milieu de [AH], C est le milieu de [BG], D est le milieu de [CF].

 

On sait que l'aire de ABC est 12 cm². Quelle est l'aire de EFGH  ?

 

croissance_poly1.png

Solution

1) Le triangle EAH : Le triangle EAH est composé des deux triangles AEB et BEH. Je commence par le triangle AEB.

croissance_poly2.png

Comme A est le milieu de [ED], AE=DA, donc l'aire du triangle AEB est la même que celle du triangle BDA. En effet, La hauteur issue de B dans le triangle EBD et la hauteur issue de B dans le triangle ABD ne sont qu'une seule et même hauteur (en vert sur la figure), puisqu'elle passe par B est est perpendiculaire à [DE]. Cette aire vaut AE×BI/2=DA×BI/2.
B étant le milieu de [AH], on montre de la même manière que AEB et BEH sont des triangles de même aire.

Donc

Aire(AEH)=Aire(AEB)+Aire(EBH)=2×Aire(AEB)=2×Aire(ABD)

2) Les triangles BHG, CGF et FDE : En utilisant le même raisonnement, on trouve que

Aire(BHG)=2×Aire(ABC)

Aire(FCG)=2×Aire(DBC)

Aire(FDE)=2×Aire(ACD)

3) Assemblage

Aire(EFGH)= Aire(AEH)+Aire(BHG)+Aire(FCG)+Aire(FDE)+Aire(ABCD)

soit

Aire(EFGH)= 2×Aire(ABD)+2×Aire(ABC)+2×Aire(DBC)+2×Aire(ACD)+Aire(ABCD)

On peut regrouper les termes de la somme comme ci-dessous :

Aire(EFGH)=[2×Aire(ABD)+2×Aire(DBC)]+[2×Aire(ACD)+2×Aire(ABC)]+Aire(ABCD)

d'où

Aire(EFGH)=[2×(Aire(ABD)+ Aire(DBC))]+[2×(Aire(ACD)+ Aire(ABC))] +Aire(ABCD)

Or Aire(ABD)+ Aire(DBC) = Aire (ABCD) (pourquoi ?) et Aire(ACD)+ Aire(ABC) = Aire (ABCD) (pourquoi ?)

Donc

Aire(EFGH)=[2×Aire (ABCD)]+[2×Aire (ABCD)]+Aire(ABCD)=5×Aire (ABCD)

L'aire du grand quadrilatère est donc 4×12=60 cm².

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28 avril 2011 4 28 /04 /avril /2011 12:00

Cet article fait suite à : Nombre de diagonales d'un polygone (1) et (2).

pent-copie-2

 

Combien de diagonales possède un polygone à n côtés ?

 

Ici n est un entier naturel quelconque au moins égal à 4. (Un triangle n'a pas de diagonale.)

 

Prenons un sommet du polygone. Il exsite une diagonale reliant ce sommet à tous les autres sommets sauf :

  • lui même
  • les deux sommets auxquels il est déjà relié par un côté chacun.

n étant le nombre total de sommets, on peut donc tracer (n-3) diagonales partant d'un seul sommet.

 

Ainsi chacun des n sommets est une extrémité de (n-3) diagonales.

 

Faisons la somme de toutes les diagonales en partant en les comptant une fois par sommet :

(n-3) + (n-3) + ........+ (n-3) = n×(n-3)

 

Toutes les diagonales ont été comptées. Elles ont même été comptées deux fois !! Puisque chaque diagonale à 2 extrémités !

 

On obtient donc le nombre exact de diagonales en divisant par 2 le produit précédent. Autrement dit, le nombre de diagonales est exactement :

 

diagonale_nb.png

Remarque : n(n-3) est nécessairement un multiple de 2 car c'est le double du nombre de diagonale. Aucun calcul n'a été nécessaire pour le savoir ! On aurait pu l'expliquer par le fait que :

  • si n est pair, n=2m, alors n(n-3)=2m(n-3) est pair lui aussi
  • si n est impair, n=2m'+1, alors c'est n-3=2m'-2=2(m'-1) qui est pair d'où n(n-3)=2n(m'-1) est pair.

On peut trouver cette formule d'une autre façon en utilisant les combinaisons (dont un article futur fera l'objet sur ce blog) : voir


Nombre de diagonales d'un polygone (4)

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13 avril 2011 3 13 /04 /avril /2011 12:00

Cet article fait suite à

Nous en étions à trouver le nombre de diagonales d'un polygone à 10 côtés : de chaque sommet, il part 7 diagonales. Comme il y a 10 sommets, cela doit faire 70 diagonales.

 

deca_poly10-copie-1.pngRemarque : Un bug de chargement de l'image affiche systématiquement un fond noir pour cet image alors qu'elle est faite sur fond blanc ...

 

Si on compte bien, il n'y en a pas 70. Pourtant mon raisonnement est correct .... 7 fois 10 = 70. En recommançant la figure à nouveau, et en comptant au fur et à mesure, on se rend alors compte que certaines diagonales sont déjà tracées, il ne faut pas les compter deux fois (une fois pour chaque extrémité). C'est pourtant ce que j'ai fait. Pour obtenir le bon nombre de diagonales, je dois alors diviser 70 par 2.

 

Un décagone possède donc 35 diagonales.

 

Polygone à 50 côtés

 

50poly diag fUn polygone à 50 côtés a 50 sommets. Pour chaque sommet, je peux tracer 47 diagonales. En effet, il y a 49 autres sommets dont 2 sont déjà reliés au sommet auquel je m'intéresse. En traçant 47 diagonales par sommets, cela en fait 47 fois 50 = 2 350. Mais j'ai tracé chaque diagonale 2 fois, il n'y en a donc que la moitié de 2 350, c'est à dire 1 175.

 

Encore un bug désolé...

 


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6 avril 2011 3 06 /04 /avril /2011 12:00

 

Cet article répond à la question posée dans Triangle d'or et pentagone régulier :

 

Combien y a-t-il de triangles d'or dans la figure ci-dessous :

 

http://img.over-blog.com/500x490/3/62/62/69/polygone/pent-copie-1.png

Il vaut mieux se repérer avec des noms pour les sommets. Pour le codage, je vous invite à chercher les justifications vous même ou sur ce site car cela risque d'être peu passionnant.

 

tri_or_pent-copie-1.png

 

5 autour du petit pentagone central : (voir Triangle d'or et pentagone régulier ) : DGF, CHG, BIH, AJI, EFJ.

 

5 autres :  (pourquoi ?) : DBA, CAE, BED, ADC, ECB

 

10 autres : EGD, CFD, BGC, DCH, AHB, CBI, AEF, EIA, BAJ, DJE

 

Les segments ne sont pas tracés mais par exemple : BJG en est aussi un, il y a 4 autres du même type. On peut encore en former 5 dans le pentagone FGHIJ sans ajouter de points : par exemple JGH.

 

Remarque : on reconnait des triangles 108 - 36 -36 comme dans triangles d'or, on peut aussi essayer de tous les chercher....

 

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30 mars 2011 3 30 /03 /mars /2011 12:00

Cet article fait suite à Polygone à 50 côtés .

 

Combien de diagonales un polygone à 50 côtés possède-t-il ?

 

IMGP3953

 

Une diagonale est un segmment joignant deux côtés d'un polygone qui ne sont pas déjà reliés par un côté.

 

Sur le dessin, il paraît bien difficile de compter le nombre de diagonales du polygone à 50 côtés.

 

Commençons par trouver le nombre de diagonales des polygone avec peu de côtés.

 

tri.png quad.png pent-copie-2.png
Un triangle a 3 sommets et n'a pas de diagonale. Un quadrilatère a 4 sommets et 2 diagonales. Un pentagone a 5 sommets et 5 diagonales.

 

Je place ces résultats dans un tableau :

 

Nombre de sommets du polygone 3 4 5
Nombre de diagonales du polygone 0 2 5

 

Ce n'est pas un tableau de proportionnalité (pourquoi ?). Il faut trouver un raisonnement nous permettant de trouver le nombre de diagonales d'un polygone à partir du nombre de côtés = nombre de sommets.

 

Pour le moment je vais me contenter de trouver le nombre de diagonales d'un polygone à 10 côtés :

 

Polygone à 10 côtés :

deca.png

Je commence par tracer toutes les diagonales ayant pour extrémité M : Il y en a 7 car il y a 9 autres sommets que M et deux sommets déjà reliés par des côtés (N et V)

deca_poly1.png

Ensuite je trace toutes les diagonales ayant pour extrémité V : il y en a 7 aussi

deca_poly2.png

Et puis je trace les diagonales ayant pour extrémité U : il y en a 7 également.

Et puis je trace les diagonales ayant pour extrémité T : il y en a 7 également.

Et puis je trace les diagonales ayant pour extrémité S : il y en a 7 également.

Et puis je trace les diagonales ayant pour extrémité R : il y en a 7 également.

Et puis je trace les diagonales ayant pour extrémité Q : il y en a 7 également.

Et puis je trace les diagonales ayant pour extrémité P : il y en a 7 également.

Et puis je trace les diagonales ayant pour extrémité O : il y en a 7 également.

Et puis je trace les diagonales ayant pour extrémité N : il y en a 7 également.

 

Combien y a-t-il alors de diagonales dans un polygone à 10 côtés ?

 

A suivre ...

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27 mars 2011 7 27 /03 /mars /2011 12:00

Dans Triangle d'or , je parlais d'un triangle appelé triangle d'or (ah bon ?). Ce triangle 

  • est isocèle
  • a un angle de 36°
  • deux angles de 72°

Ce triangle est présent dans le pentagone :

http://img.over-blog.com/500x490/3/62/62/69/polygone/pent-copie-1.png

Comme on a peut le voir dans Pentagone dans le pentagone , les 5 triangles autour du pentagone central sont isocèles. Ayant un seul angle de 36°, ce sont nécessairement des triangles d'or.

 

Sur cette figure, il y a d'autres triangles d'or, où sont-ils ?

 

A suivre...

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24 mars 2011 4 24 /03 /mars /2011 12:00

Combien de diagonales un polygone à 50 côté possède-t-il ?

IMGP3953.JPG

Réalisé par des élèves de 5ème (2011)

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4 février 2011 5 04 /02 /février /2011 12:00

Dans l'article Triangles particuliers  nous avions trouvé un triangle isocèle spécial : 

http://img.over-blog.com/282x300/3/62/62/69/polygone/t2.png

En effet dans ce triangle deux angles mesurent la moitié du troisième.

La question était :

Existe-t-il un autre triangle isocèle avec un angle de 72° ?

 

 

Réponse. 

 

La seule possibilité est que le grand angle mesure 72°. La somme des deux autres angles est donc de

(180-72)=108°

Donc chacun d'eux mesure 108/2=54°.

 

Le voici ci-dessous : tri_part2.png



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  • : Maths Otak'
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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