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29 décembre 2013 7 29 /12 /décembre /2013 12:00

Avant de donner une définition du terme vecteur, je souhaiterai donner des exemples.

 

Plaçons-nous dans un repère : une origine et deux axes gradués.

 

Prenons un point A et un point B dans ce plan de coordonnées respextives (xA,yA) et (xB,yB) (voir L'ensemble R² : présentation) comme ci-dessous. On a vu que dans R², on pouvait additionner ces coordonées, on obtient alors d'autres coordonnées : 

 

 

(xA,yA) + (xB,yB)=(xA+xB,yA+yB)=(xC,yC)

 

Notons C le point de coordonnées (xA+xB,yA+yB). 

 

37.png

 

Sur la figure,


A : (xA,yA) =(3;4) et B : (xB,yB)=(-2;2)

d'où

C : (xC,yC)=(xA+xB,yA+yB)=(1;6)


Je fais maintenant appraître des flèches reliant l'origine du repère à A, B et C; et aussi des flèches reliant A à C et B à C.

38.pngEn regardant la figure, on "voit" que :

  • la flèche allant de O à A et la flèche allant de B à C sont les même : dans les deux cas on se déplace de 3 unités en abscises et de 4 en ordonées (ce sont les coordonnées de A). Cette flèche est en rouge.
  • la flèche allant de O à B et la flèche allant de A à C
    sont les même : dans les deux cas on se déplace de -2 unités en abscises et de 2 en ordonées (ce sont les coordonnées de A). Cette flèche est en violet.
  • la flèche allant de O à C peut s'obtenir en metant bout à bout la flèche rouge et la flèche violette dans l'ordre que l'on veut (soit la rouge puis la violete, soit la violette puis la rouge).
  • Les coordonnées de la flèche

Dans le monde des vecteurs la flèche rouge qu'elle parte de O ou de A est la même. En fait, dans le monde des vecteurs, seuls comptent les coordonnées.

 

Voici comment, je définirai les vecteurs sur ce blog :

 

Définition. Les vecteurs du plan sont des couples de rééls notés


Généralement, un vecteur se note avec une flèche.

 

 

Graphiqument les vecteurs se représentent par des flèches.

 

Dans l'exemple ci-dessous

39.png

le vecteur est noté

  

et ses coordonnées sont

 

Comme l'avions déjà constaté, il peut y avoir plusieurs représentants pour un même vecteur :

40.png

Cependant, parmi tous les représentant, il y en a un qui a pour coordonnées les mêmes coordonnées que le point d'arrivée :

41.pngIci le vecteurs a les mêmes coordonnées que le point A.

 

Notation. Si M(xM,yM) et P(xP,yP) sont deux points de R², on note


le vecteur de coordonnées


Remarque : tout vecteur a une infinité de représentants, car le point de départ (M ici), peut être choisi arbitrairement.

 

Revenons à notre exemple de départ. Pour aller du point O au point C dans l'exemple de départ, on voit que l'on peut passer par le point B ou par le point C.

 


38.png

 

On a en outre


Cela s'explique par le fait que

et

 

La somme de deux vecteurs peut donc se "visualiser" en dessinant bout à bout des représentants des deux vecteurs dont on veut faire la somme. La possibilité de passer par B ou par A sur le dessin est une illustration de la commutativité de la somme dans R² (voir L'ensemble R² : présentation )

 

On a bien pour deux vecteurs


 

la formule pour la somme :

 

 


 

 

 

Par ailleurs ces deux formules
 

et

 

peuvent s'expliquer par le calcul grâce à la relation de Chasles :

 

Propriété (relation de Chasles). Soient A et B deux points et I un troisième point quelconque. On a

Graphiquement, on peut l'interpréter en disant que pour aller de A à B, on peut passer par le point I

42.png

Démonstration.  C'est facile à voir puisque  

et

Ainsi  


puis

 

 

A suivre...

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13 décembre 2013 5 13 /12 /décembre /2013 18:00

L'ensemble R² : présentation

Construction

 

L'ensemble R des nombres réels peut être représenté par une droite

Un nombre réel est un point de cet axe : voir X ci-dessous

 



 

Sortons de cet axe et prenons un point M en dehors dans le plan

 

 

Ce point peut lui aussi être considéré comme un nombre. Pour cela, un deuxième axe est nécessaire :

 

18-copie-2.png


Ce point correspond à deux nombres réels : un pour le premier axe (abscisse) et un pour le deuxième axe (ordonnée). Ces deux nombres (abscisse et ordonnée) sont les coordonnées de M.

 

En partant de l'ensemble R des nombres réels, on peut donc former l'ensemble R×R noté aussi . Il est constitué des couples de nombres (x,y) où x et y sont des nombres réels.

 


Sur le dessin M=(a,b) et X devrait plutôt être noté (X,0).

 

Remarque : sur la figure les axes sont perpendiculaires, car on les représente souvent comme cela, mais ce n'est pas nécessaire. Ce qui est nécessaire est que les deux axes soient sécants en un point ayant pour coordonnées 0 et 0. L'un jouera le rôle de l'axe des abscisses et l'autre celui de l'axe des ordonnées.

 

Opérations

Comme on peut additionner les nombres réels, il est aussi possible d'additionner les nombres de .

Par exemple

(2;-3)+(7;3)=(9;0)

On comprend rapidement comment fonctionne l'addition dans R² :


Définition. Si (a,b) et (x,y) sont deux nombres de R², alors leur somme est 

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)

 

On dit que l'on ajoute (x,y) à (a,b).

 

Remarquons que
 

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)=(x+a,y+b)=(x,y)+(a,b)

 

Autrement dit, dans une somme (ou addition) l'ordre des termes n'est pas important. On dit que l'addition est commutative (on peut commuter les termes).

 

Remarque typographique. pour séparer les deux coordonnées, on utilise une virgule, mais pour éviter toute confusion, j'emploie parfois un point-virgule lorsqu'il s'agit de nombres en chiffres.

 

Propriété/Définition. Pour tout couple (a,b) de réels, il existe un unique couple (x,y) tel que 

(a,b)+(x,y)=(0,0).

Ce couple est (-a,-b) et on le note -(a,b). On l'appelle l'opposé de (a,b).

 

Démonstration.


(a,b)+(x,y)=(0,0) si et seulement si (par définition) (a+x,b+y)=(0,0). Autrement dit
(a,b)+(x,y)=(0,0) si et seulement si a+x=0 et b+y=0 ce qui équivaut encore à a=-x et b=-y. D'où le résultat.

 

Notation. (0,0) est noté tout simplement 0. Dans les opérations il ne peut pas y avoir d'ambiguité puisque l'addition n'est définie que pour deux réels ou pour deux élément de .

On comprend alors, suivant le contexte, si 0 désigne un élément de R ou un éléùet de .

 

On dit que 0 est un élément neutre pour l'addition. Cela est vrai dans R et dans . Un prochain article sera consacré à ce que l'on appelle un élément neutre. Aussi bien dans R et dans , il n'y a qu'un seul élément neutre pour l'addition.

 

Définition/Notation. Soustraire un nombre à un autre nombre de c'est lui ajouter son opposé. La soustraction de (a,b) par (x,y) se note (a,b)-(x,y)=(a-x,b-y).

 

Peut-on faire d'autres opérations dans , multiplication ou division ? Peut-on faire des opérations entre des éléments de R et des éléments de ?

 

A suivre...


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8 décembre 2013 7 08 /12 /décembre /2013 15:11

Cet article fait suite à :

 

Suite arithmético-géométrique

 

Avant de voir les suites de type arithmético-géométrique, revoyons rapidement, les suites arithmétiques et les suites géométriques.

 

Exemple 1 (suite arithmétique)

 

-2 ٠1 ٠ 4 ٠ 7 ٠ 10 ٠ 13 …......

est une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme a0 = -2.

On a pour tout entier naturel n, an=-2+3n.

 

Exemple 2 (suite géométrique)

 

3 ٠-6 ٠ 12 ٠ -24 ٠ 48 …......

est une suite géométrique de raison -2 et de premier terme g0 = 3.

On a pour tout entier naturel n, gn=3×(-2)n.

 

Définition. Une suite arithmético-géométrique est une suite (hn) définie pour tout entier naturel n par

hn=qhn-1+r

où q et r et h0 sont des réels.

 

Remarque. Comme pour les suites arithmétiques et géométriques, c'est une définition récursive. Dans une suite arithmético-géométrique pour passer d'un terme au terme suivant on applique les deux procédés des types de suites justement évoqués.

 

Exemple 3 (suite arithmético-géométrique)

On prend h0=-1, q=3 et r=-2, voici les premiers termes de la suite (hn) : je les calcule avec un tableur pour gagner du temps

 

16.png

 

Ce qui donne

-1 ٠ -5 ٠ -17 ٠ -53 ٠ -161 ٠ -485 ٠ -1457 ٠ -4373

 

17.png

On peut remarquer en calculant la différence entre deux termes consécutif que cette différence semble former une suite géométrique :

 

-4 ٠ -12 ٠ -36 …...

 

de terme initial -4 et de raison 3...

 

 

 

Autrement dit, il semblerait que que la suite (dn) définie par dn=hn+1-hn soit géométrique.

 

 

 

 

Questions :

  1. Peut-on exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique par une formule comme pour les suite arithmétique et les suites géométriques ?

  2. Comment pourrait-on définir une suite géométrico-arithmétique ? Est-ce la même chose qu'une suite arithmético-géométrique ? Peut-on généraliser ce procédé ?

 

À suivre....

 

Pour en voir plus sur les suites ici : Page des suites.

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19 juillet 2011 2 19 /07 /juillet /2011 12:00

L'ensemble Q des nombres rationnels possède la propriété suivante :

 

 

Propriété.Si a et b sont deux nombres rationnels positifs, alors il existe un entier n positif ou nul tel que nab.

 

Preuve.

Je commence avec deux nombres rationnels quelconques a et b. On a donc

avec m,q,p,r entiers et q, r non-nuls.

Pour comparer ces nombres, je les mets au même dénominateur

 

Je vais chercher un entier naturel n tel que na>b.

Si mr>qp, alors a>b donc on peut écrire 1a>b, n=1 convient.

Sinon, je pose

et j'effectue la division euclidienne de qp=q' par mr=m', d'où

avec s<m'. Ainsi (t+1)m'=tm'+m'>tm'+s=q'. L'inégalité

me permet d'obtenir

soit

En prenant n=t+1, on a  na>b.

Fin de la preuve.

 

Q possédant cette propriété est qualifié d'Archimédien.

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16 juillet 2011 6 16 /07 /juillet /2011 12:00

Je vais répondre à la question 4 de Jeu de dés

 

dé cube  dé tétra
 Dé cubique à 6 faces
 Dé tétraèdrique à 4 faces

 

Le nombre 2304 peut se décomposer en le produit :

2 304 = 4×6×4×6×4 = 4×4×4×6×6=43×62

 

Pour obtenir 2 304 possibilités, on peut utiliser le schéma suivant : 

  1. On lance successivement 3 dés de 4
  2. On lance successivement 2 dés de 6

Ainsi, comme dans par exemple Hasard entre 1 et 24 , on obtient 2 304 résultats différents possibles avec la même chance de se réaliser 1/2 304. Reste à trouver le moyen d'attribuer un nombre compris entre 1 et 2 304 en fonction de chaque suite de lancers.
Par exemple la suite 3-3-2-5-1 doit correspondre à un nombre.

A suivre ...

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13 juillet 2011 3 13 /07 /juillet /2011 12:00

Deux personnages A et B ont des CD. A possède des CD à 11€ et B possède des CD à 17€. Les CD des 2 personnages sont en grande quantité.

 

B doit 1 euro à A mais ni l'un ni l'autre n'a d'argent. Comment peuvent-ils faire pour être quitte ?

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12 juillet 2011 2 12 /07 /juillet /2011 12:00

L'ensemble des nombres rationnels,  Q,  est dénombrable, autrement dit on peut donc énumer tous ses éléments :
0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 3, -3, 1/3, -1/3, 2/3, -2/3,.................

 

Mais Q est "partout" dans le sens suivant : entre deux nombres réels, il y a toujours un nombre rationnel.

 

Je vais montrer qu'il y toujours un nombre décimal compris entre deux réels. Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous la forme

n est un entier relatif et k un entier naturel.

 

Les nombres décimaux sont des nombres dont le développement décimal est fini.

 

Exemple :

 

 

Considérons deux nombres réels a et b, avec a<b.

Par exemple : a=12,3444560999999999.......... et

                          b=12,34567891011121314.........

b-a est un nombre positif.

Son développement décimal s'écrit :

Pour notre exemple

b-a=0,0012........

En partant de la gauche dans notre exemple, 1 est le premier chiffre non nul.
Disons qu'il a l'indice t dans le cas général avec ct (t peut être positif ou négatif). ci=0 si i>t.

 

Je pose

si t<0 et, si t≥0 je pose


Dans l'exemple, je pose d=0,001.
Si t<0, je considère a' le nombre décimal dont les chiffres sont les même que ceux de a et s'arrêtent au chiffre d'indice t. Alors a'≤a≤b d'où
          a'+d≤a+d<a+(b-a)=b car d≤b-a.
Par ailleurs a'+d>a car d>a-a' puisque a-a'<10t et que d est un multiple de 10t par un nombre positif : d=cr....ct10t.

Donc a'+d est un nombre décimal compris entre a et b.

Dans l'exemple : t=-3 et a'=12,344. On a a-a'=0,0004 <10-3=0,001 (et d=0,001).
Donc a'+d=12,344+0,001=12,345. C'est un nombre décimal compris entre a et b.

 

 

La propriété suivante a été prouvée :

 

Propriété. Entre deux nombres a et b, il existe un nombre rationnel.

 



 

 

 

 

 

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7 juillet 2011 4 07 /07 /juillet /2011 12:00

Voici le paradoxe de Zénon dont je vous avais déjà parlé :

On lance une pierre vers un arbre. Avant d'atteindre l'arbre la pierre doit arriver à la moitité du parcours. Il lui reste alors  la moitié du parcours à traverser. Pour y parvenir elle doit franchir la moitié de cette moitié de parcours. Il lui reste alors la moitié de la moitié du parcours à traverser.... et ainsi de suite....

Merci à l'internaute qui m'a parlé du blog Les Paradoxes Interdits où l'on peut voir la vidéo ci-dessous

 

 

Disons que la distance entre le lanceur de la pierre et l'arbre est 1. (1 décamètre par exemple)
La moitié est 1/2.
La moitié de la moitié = le quart est 1/4.
La moitié du quart = le huitième est 1/8.
.....
Donc la pierre doit avant d'atteindre l'arbre parcourir :
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+..........................................................................
Cette somme infinie est donc inférieure ou égale à 1. En fait, elle est égale à 1. On dit qu'elle "converge" vers 1.
En effet, en base 2 cette somme s'écrit (0,1111......)2 car :

Or dans l'article 0,33333..... en base quatre , nous voyons que ce nombre est égal à 1.

 

A moins que la pierre freine indéfiniment, elle finit donc par atteindre l'arbre. En tout cas, c'est le cas si sa vitesse est constante, puisqu'alors le temps de parcours est proportionnel à la distance.

En général, pour savoir si une somme infinie "converge" (si elle est égale à un nombre), on utilise d'autres méthodes. On ne peut pas toujours, comme ici, calculer cette somme, même lorsque l'on sait qu'elle existe .....
Ici, on peut calculer la somme grâce aux suites géométriques (plus tard sur ce blog).
En effet,

Reformulé avec le symbole sigma cette égalité devient :

Si l'on calcule cette somme jusqu'au k-ième terme, on a le nombre 0,1111.... écrit en base 2 avec k chiffres 1 :

C'est la somme d'une suite géométrique de raison 1/2, on peut donc utiliser la formule ci-dessous :

où q=1/2, m=k et j=n.

Ainsi, on calcule :

Or la suite 1/2, 1/4, 1/8, ....., 1/(2k), .... tend vers 0 (pour ceux qui connaissent...), c'est à dire

Comme 1-0=1, on a

C'est une méthode plus formelle pour prouver que 0,11111........ en base 2 est égale à 1.

 

 

 


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5 juillet 2011 2 05 /07 /juillet /2011 12:00

Cet article suit :

Dans cet article je montre que l'ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable.

 

Pour cela il faut établir une bijection entre N et Q :

f:N--->Q

f(1), f(2), f(3), ...... doivent être tous les nombres de Q.

 

Je commence par une bijection entre N et Q+ , Q+ désignant l'ensemble des nombres rationnels positifs.

Un nombre rationnel positif est une fraction avec un nombre entier positif et un nombre entier positif non nul au dénominateur. Voici quelques exemples d'éléments de Q+ :

 

On peut ranger toutes les fractions dans un tableau infini :

Tous les nombres rationnels positifs sont dans ce tableau. Par exemple le nombre

se trouve dans la colonne 135 et dans la ligne 2 678 987.

On peut donc faire la liste de toutes les fractions de la manière suivante :

  1. On commence par la fraction en haut à gauche (on coche la case)
  2. On se place dans la première colonne à la première ligne non cochée. On remonte en diagonale vers le haut et vers la droite jusqu'à arriver jusqu'à la première ligne du tableau en cochant les cases traversées au fur et à mesure.
  3. On répète l'étape 2.

Ainsi, on peut faire la liste de toutes les fractions :

Parmi elles, certaines sont égales comme 0/1=0/2=0/3=........=0 ou 1/1=2/2=3/3, on élimine au fur et à mesure les fractions qui sont égales à une fraction déjà listée : 

On a donc une bijection g de N vers Q+

Même si l'on ne dispose pas de formule pour cette fonction, il s'avère que la manière par laquelle elle est construite en fait une fonction surjective (tous les rationnels sont dans le tableau) et injective (on a éliminé les "doublons"). La fonction g est donc bijective.

 

On peut maintenant construire la bijection f entre N et Q en alternant les éléments de Q+ et leur opposés comme suit :

On a donc une bijection entre N et Q+ . 

 

A suivre ...

 

 

 

 

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28 juin 2011 2 28 /06 /juin /2011 12:00

Dans Pourquoi 0,9999.... est égal à 1 ? , nous vîmes que 0,9999..... (infinité de chiffres 9) écrit en base dix était égal à 1.

 

En base 10, les chiffres dans l'ordres sont 0,1,2,3,.....,8,9

En base 4, les chiffres sont 0,1,2,3

 

Le nombre (0,33333.......)4 est-il égal à 1 ? [l'indice 4 indique que l'écriture est en base 4].

 

Je vais appliquer le même raisonnement que dans la fin de l'article cité précédemment :

Je note a=0,33333.......

Alors (10)4a=3,3333....... (voir la remarque fin de  Tables d'additions, de multiplications et multiplications en base 4  )

Ainsi  (10)4a- a = 3, c'est à dire 3a=3 d'où l'on déduit a=1.

 

Ce genre de résultat se généralise simplement à toutes les baes

 

Propriété. Si β est un entier au moins égal à 2, alors  (0,αααααααααααα...........)β=1, où  α=β-1 est le dernier chiffre utilisé en base β.

 

Preuve.

 

Je note a=(0,αααααααααααα...........)β

Alors (10)βa=(α,αααααααααααα...........)β donc (10)βa-a=αa=α d'où a=1.

FIN DE LA PREUVE.

 

Sommes infinies

 

  • En base 10, l'égalité 0,9999.......=1 s'écrit aussi

que l'on peut encore noter

  • De même le résultat prouvé plus haut en base 4 donne

Ce sont des sommes avec une infinité de termes. Nous en utilisons en fait à chaque fois que nous faisons des divisions avec un développement décimal infini comme dans 0,333..... ou 0,999.... Cependant une explication rigoureuse devrait justifier de telles écritures (peut-être plus tard sur ce blog...).

 

 

Mais au fait pourquoi la pierre finit-elle par atteindre l'arbre ? Voir Un paradoxe de Zénon

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