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19 mars 2011 6 19 /03 /mars /2011 12:00

Voici un triangle déjà vu dans Triangles particuliers (2)

http://img.over-blog.com/282x300/3/62/62/69/polygone/t2.png

Traçons la bissectrice d'un des deux angles de 72° :

tri or1

Un simple calcul montre que la bissectrice partage le triangle en 2 triangles isocèles dont les angles sont respectivement : 36 - 36 - 108 et 72 - 72 - 36. On reconnait le triangle de départ en plus petit et le triangle de Triangles particuliers.

Sur le dessin les triangles DGE et EFD ont la même forme puisque les angles sont les mêmes.

tri_or2.png

Ainsi ED=GD=GF.

 

Notons a=FG et b=GE. Comme les triangles FGD et GDE ont la même forme, leurs côtés sont proportionnels. En particulier, on a :

FEED.png

soit

tri_or3.png

Cette équation est la même que dans Rectangle d'or . Cette équation a déjà été résolue dans A la recherche du nombre d'or (Episode 11 : la valeur exacte) :

abnbor-copie-1.png

Le quotient a/b est égal au nombre d'or. On appelle le triangle 36-72-72 triangle d'or.

 

 

Pour voir l'ensemble des articles ayant un rapport avec le nombe d'or : ici.

t_or.png

 

 

 

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23 décembre 2010 4 23 /12 /décembre /2010 14:45

La formule de Binet permet de calculer les termes de la suite de Fibonacci sans utiliser la récursivité : il est inutile de connaître les deux termes précédents pour trouver celui qui nous intéresse.

 

Voici cette formule :

binet-copie-2.png

On reconnait le nombre d'or et l'autre racine de l'équation a2=a+1 intervenant dans cette formule ($) :

nb_or_et_conj.png

Avec ces notations, la formule de Binet devient

binet2.png


 

Vérifions que cette formule est correcte par récurrence :

  • Initialisation :
    • Tout d'abord, F0 est bien égal à 0 car tout nombre à la puissance 0 vaut 1
    • F est égal à 1 comme on le voit à partir d'un calcul (attention au signe - devant les parenthèses)
  • Hérédité : Supposons la propriété suivante vraie pour un certain n : 
(HR) La formule de Binet est vraie pour le calcul de Fk où 0k<n+1

 

Je vais montrer que la formule de Binet est encore vraie pour n+1. On utilise la définition de la suite de Fibonacci, à savoir la formule de récurrence (*) :

fibo n

Avec l'utilisation des notations φ et ψ

 

frr1-copie-2.png

d'où puisque :

frr2-copie-1.png

 

on obtient successivement

 

frr3

Dans la dernière égalité, on a utilisé un développement et (HR) pour k=n et k=n+1. Ceci achève l'étape d'hérédité.

 

La formule de Binet est donc démontrée.

 

Remarque : Dans la phase d'initialisation, j'ai vérifié que la formule était valable pour les deux premiers termes de la suite de Fibonacci. En effet, la suite de Fibonacci est uniquement définie à partir de 2 termes et de la formule de récurrence (*).

 

On peut vérifier que ψ est donné par la formule ($) est la seconde solution de l'équation a2=a+1. Mais cela n'a pas servi dans les calculs de l'expliciter.

 

Dans cet article, je suis parti de la formule toute faite et j'ai simplement vérifié qu'elle fonctionnait. Plus tard, nous verrons comment cette formule a pu être découverte et comment cette méthode peut se généraliser. Par ailleurs, cela me permettra de monter un exercice (connu) aboutissant à la découverte de cette formule. J'aurai besoin d'utiliser les matrices pour faire tout çà et la lecture s'adressera cette fois-ci à un publique plus expérimenté. Néanmoins, les curieux y trouveront quelquechose.

 

A suivre ...

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18 décembre 2010 6 18 /12 /décembre /2010 14:43

La suite de Fibonacci est définie par 2 valeurs de départ :

fibo init

et une relation de récurence pour tout entier n supérieur ou égal à 2  

fibo n

Nous avons vu dans Suite de Fibonacci et tableur que bien qu'il soit facile de calculer les termes de la suite de Fibonacci avec un tableur, ce n'était pas satisfaisant car des erreurs de calculs arrivaient rapidement.

 

On peut écrire un algorithme puis le trauire en lagage machine. Ici, l'algorithme est traduit langage Python (logiciel avec lequel je viens juste de faire connaissance).

 


Algorithme

Fonction en Python

%commentaire% variable : n  (entrée)

 

On assigne à a la valeur 1

On assigne à b la valeur 1

On assigne à c la valeur 1

Si n=1 alors afficher la valeur de a

Sinon et si n=2 alors afficher la valuer de b

Sinon Tant que c<n-2 Faire

           on assigne à a la valeur b

           on assigne à b la valeur a+b

           on assigne à c la valeur c+1

afficher la valeur de a+b

 

def Fibo(n) :
    a,b,c=1,1,1
    if (n==1) :
        print(a)
    elif (n==2) :
        print(b)
    else :
        while (c<n-2) :
            a,b,c=b,a+b,c+1
        print(a+b)

 

Alors que le tableur nous donnait le faux résultat

1 304 969 544 928 660

pour le calcul du 74 ème terme de la suite de Fibonacci, 

on obtient ici en executant Fibo(74) :

1 304 969 544 928 657

Fibo(100) donne par exemple 

35 422 848 179 261 915 075

On peut aussi calculer le 1 000è terme de la suite de Fibonacci en moins d'une seconde grace à ce programme. (Essayez !) 

 

Complexité

 

Notre algotrithme n'utilise que 3 variables en mémoire a,b, et c. Mais comme avec le tableur, il y a 998 calculs si l'on veut le 1 000è terme.

Par définition la suite de Fibonacci est récursive donc on ne pourra pas créer de programme sauf si nous disposions d'une formule permettant de calculer directement le 1 000è terme sans avoir besoin des 999 précédents ! 

C'est que nous verrons avec la formule de Binet.

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16 décembre 2010 4 16 /12 /décembre /2010 14:41

Pour savoir ce qu'est la suite de Fibonacci, on pourra commencer par :

 

Pour calculer les termes de la suite de Fibonacci, on peut utiliser un tableur : par exemple celui fourni par OpenOffice : calc (classeur).

 

On commence par entrer les deux premiers termes de la suite de Fibonacci :

fibo init

 inti_tab_fibo.png

 

Ensuite, il suffit de rentrer la formule de récurence (en bas à gauche) dans le tableau et d'étirer cette formule (vers le bas) :

fibo n  fomrule_fibo_tab.png

 

L'ordinateur calcule à notre place les termes de la suites de Fibonacci : 

etirement_fibo.png

Ainsi

 

- le 10 ème terme est 55

- le 20 ème terme est 6765

- le 30 ème terme est 832 040

 

Le nombre de chiffres augmente rapidement, et les calculs deviennent vite gros.

 

 

 

erreur_fibo.png

 

Celà génère des erreurs de calcul pour le logiciel dues aux arrondis avec les grands nombres (pour le logiciel) :

 

En effet

 

On voit bien que le calcul du 74 ème terme est faux rien qu'en regardant le chiffre des unités !

 

 

 

 

 

Nous verons plus tard :

 

  1. Un algorithme de programmation des termes de la suite de Fibonacci

 

  2. Une formule qui nous permettra de calculer les termes sans être obligé de connaître les précédents, d'où beaucoup moins de calcul pour l'odinateur

...........

 

A suivre

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15 décembre 2010 3 15 /12 /décembre /2010 10:28

Dans  A la recherche du nombre d'or (Episode 6 : suite de Fibonacci) et dans A la recherche du nombre d'or (Episode 7 : Fibonacci et les lapins), je vous avais un peu parlé de la suite de Fibonacci.

 

Définition

 

La suite de Fibonacci est la suite de nombre

                                   1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Chaque terme se déduit des deux précédents en calculant leur somme.

Ainsi, on peut continuer la suite :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54

 

Définition formelle

 

Les deux premiers termes de la suite de Fibonacci sont

fibo_init.png

Pour tout entier n supérieur ou égale à 1, on pose :

fibo_n.png

La suite est bien définie, on dit qu'elle est définie par récurence. Je ne le prouverai pas car cela est ennuyeux. Vous pouvez le faire vous même si vous connaissez les raisonnement par récurence. Cela consiste à prouver clairement que pour tout m le terme d'indice m est calculable.

 

Remarque


De la formule précédente, on obtient :

fibo_rec2.png

Cela nous permet de calculer les termes de la suite de Fibonacci vers la gauche, c'est à dire de calculer les termes de la suite à partir des deux suivants. Chaque terme est la différence du deuxième terme suivant par celui juste suivant. Par exemple : 5=13-8 ou 21=54-33.

 

Extension

Cette nouvelle formule permet aussi de calculer les termes de la suite de Finbonacci d'indice négatif. On a donc :

(*)                                                      .....-8, 5, -3, 2, -1,1, 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54.....

 

Définition formelle


La suite de Fibonacci (étendue) est définie par la donnée de :fibo_init.png

Les termes d'indice positif sont calculés à partir de la formule

fibo_n.png

Les termes d'indice inférieure ou égal à 0 sont calculés à partir de la formule

fibo_rec2.png

 

Encore une fois il faudrait prouver que cette définition établit bien l'existence de tous les termes d'indice négatifs de cette suite.

Remarque

 

On voit facilement à partir des nouveaux termes (*) calculés vers la gauche :  

  .....-8, 5, -3, 2, -1,1, 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54.....

que

conj.png

 

Conjecture

 

Les observations suivantes nous donnent une conjecture sur les termes d'indice négatif de la suite de Fibonacci : Pour n entier naturel (donc positif) :

Fneg.png

Démonstration

 

Nous allons faire une preuve par récurrence.

D'après la remarque l'étape d'initialisation est validée. En effet les 2 cas possibles n pair (n=2) et n impair (n=1) ont été vus. (n=0 convient aussi pour le cas pair)

Supposons que la formule de la conjecture soit vrai pour tout k positif inférieur ou égal à n (c'est notre hypothèse de récurence). Montrons qu'elle le reste pour n+1. Deux cas sont possibles : n-1 est pair ou n est impair.

Si n+1 est pair, n est pair donc n est impair on a

fibnn-copie-1.png

en utilisant 2 fois notre hypothèse de récurrence.

Cela correspond bien à ce que l'on voulait montrer dans le cas où n+1 est pair. Si n+1 est impair, avec un raisonnement similaire on obtient que

fibnn-copie-2.png

La formule est donc héréditaire. La preuve est faite qu'elle est prouvée pour tout n naturel (et même n relatif !).

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26 novembre 2010 5 26 /11 /novembre /2010 13:48

L'inverse du nombre d'or est 1/φ, φ étant le nombre d'or. Comme nous savons (voir ici) que 

Puisque φ est non-nul, en simplifiant par φ dans cette égalité, c'est successivement équivalent aux deux égalités suivantes

 

Sachant que

On peut même calculer 1/φ :

inv_nbor-copie-1.png

rect or

 

 

Géométriquement cela signifie que dans un rectangle d'or dont le peit côté b vaut

nb_or_inv.png

 

fois le grand côté a.

 

 

 

 

 

 

Dans un futur article, nous verrons que le nombre d'or va encore nous révéler quelquechose de magique car je calculerai les puissances négatives de celui-ci. Encore une fois peut-être, cela aura un rapport avec la suite de Fibonacci.

 

A suivre ...

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23 novembre 2010 2 23 /11 /novembre /2010 20:24

Cet article fait suite à la série d'article suivants :

 

La première partie (conjecture) est accessible si l'on connait la définition de puissance. Les passages traitant de récurence sont adressés aux internautes plus expérimentés.

 

Dans cet épisode, je vais partir de l'équation vérifiée par le nombre d'or (qui est positif)

 

 

pour en déduire un calcul simple des puissances du nombre d'or.

 

Première partie : trouver une conjecture

 

A chaque fois, on remarque que la puissance de a calculée est  un multiple de a plus un entier.

La nombres apparaissant à droite sont les nombres de la suite de Fibonacci.

 

Par exemple, pour a5 = 5a +3, 5 est le 5ème nombre de la suite de Fibonacci et 3 est le quatrième.

Par exemple, pour a4 = 3a +2, 3 est le quatrième nombre de la suite de Fibonacci et 2 le troisième.

 

On peut établir la conjecture suivante :Pour n entier positif :

 

Deuxième partie : Démonstration

Avant la conjecture, nous avons vu que la formule précédente fonctionne pour n=0 car a1 =a+1= 1a+1.

Supposons que pour un certain n positif, on a l'hypothèse de récurence

Montrons qu'on a une une formule identique au rang suivant, c'est à dire

On a

en itilisant l'hypothèse de récurence pour an+1 .

Donc 

Or par définition de la suite de Fibonacci :

donc

Ceci prouve que la propriété est héréditaire.

Donc on a démontré que pour tout n

Remarque

Pour n négatif, on peut prolonger cette formule après avoir défini les nombres de Fibonacci d'indice négatif.

 

 

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22 novembre 2010 1 22 /11 /novembre /2010 22:00

Episodes précédents :

Pilote : Rectangle d'or

Episodes :

  1. Avec GeoGebra
  2. Dans les tableaux
  3. 5/3 ?
  4. Fractions continues
  5. Approximation rationnelle
  6. Suite de Fibonacci
  7. Fibonacci et les lapins
  8. Retour aux racines
  9. Des racines en cascade

 

Dans cet épisode, nous verrons que le nombre d'or vaut

Nous allons montrer que ce nombre est la solution positive de l'équation

 

 

On peut remarquer que 1 est positif, la racine carrée de 5 aussi. En divisant la somme de ces deux nombres par deux, on voit que

est un nombre positif.

On va développer et montrer que a+1 lui est égal. Et on aura prouvé que ce nombre est bien le nombre d'or.

 

On a utilisé la formule 
Le dénominatuer se calcule facilement : 2² = 4. On peut développer le numérateur en utilisant l'identité remarquable du binome  
  On a utilisé la formule  
Donc on a calculé que vaut    
   
Il reste à vérifier que a+1 est bien égal à    

 

On calcule : a+1.

 

,

On a donc bien

 

L'internaute plus expert pourra résoudre l'équation

équivalente à

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20 novembre 2010 6 20 /11 /novembre /2010 21:59

Episodes précédents :

Pilote : Rectangle d'or

Episodes :

  1. Avec GeoGebra
  2. Dans les tableaux
  3. 5/3 ?
  4. Fractions continues
  5. Approximation rationnelle
  6. Suite de Fibonacci
  7. Fibonacci et les lapins
  8. Retour aux racines
  9. Des racines en cascade

Il semblerait que le Parthénon de l'acropole d'Athènes aient la forme d'un rectangle d'or (la face visible sur la photo).

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/2006_01_21_Ath%C3%A8nes_Parth%C3%A9non.JPG/800px-2006_01_21_Ath%C3%A8nes_Parth%C3%A9non.JPG

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18 novembre 2010 4 18 /11 /novembre /2010 20:06

Episodes précédents :

Pilote : Rectangle d'or

Episodes :

  1. Avec GeoGebra
  2. Dans les tableaux
  3. 5/3 ?
  4. Fractions continues
  5. Approximation rationnelle
  6. Suite de Fibonacci
  7. Fibonacci et les lapins
  8. Retour aux racines

Nous allons essayer d'approcher le nombre d'or par la suite

 

Avec la calculatrice, cela nous donne les approximations :

Les écarts entre les termes consécutifs diminuent.

 

Cependant cette piste pose problème car nous n'avons que des valeurs approchées. De plus nous n'avons émis que des conjectures.

 

A suivre ...

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  • Maths Otak'
  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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