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8 février 2011 2 08 /02 /février /2011 12:00

L2 J'ai 70 amis Facebook. Parmi eux, au moins deux ont leur anniversaire la même semaine.

 

Pourquoi ?

 

 

Réponse dans deux jours ....

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5 février 2011 6 05 /02 /février /2011 12:00

Cet article fait suite à :

Dans le deuxième je posais la question suivante : Quelles sont les dimensions du format A5 et du format A3 ?

 

Format A3

A3-copie-1Deux feuilles de formats A4 forment (voir ci-contre une feuille de format A4).

 

Les dimensions d'une feuille A4 sont : 21 cm × 29,7cm.

 

Pour obtenir le grand côté d'une feuille A3, il faut doubler le petit côté d'une feuille A4,  cela fait donc 42 cm. Le petit côté d'une feuille A3 est le grand côté d'une feuille A4, soit 29,7 cm.

 

Ainsi les dimension A3 sont 29,7 cm × 42 cm.

 

 

 

Format A5


Deux feuilles A5 forment une feuille A4. (Faire un dessin).

 

Donc le grand côté d'une feuille A5 est le petit côté d'une feuille A4, soit 21 cm. 

 

Le petit côté d'une feuille A5 mesure la moitié du grand côté d'une feuille A4 : 29,7/2 = 14,85 cm. En réalité c'est plutôt 14,8 cm.

 

Pour en savoir plus sur les formats A3, A4, A5 voir la page wikipedia consacré à la norme ISO 216 dont ils font partie.

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21 janvier 2011 5 21 /01 /janvier /2011 12:00

Cet article fait suite à  ISO 216 (Partie 1).

 

Nous devons résoudre l'équation

coeff A4 A3

Comme c est le double de b, soit c=2b, on en déduit que

k.png

Ainsi

k2.png

(k ne peut pas être nul), ce qui revient à dire que

k3-copie-1.png

puis que

k4.png

puisque k est un nombre positif.

 

Remarque : Si on sait que k est la racine carrée de 2, alors, on retrouve facilement que les rectangles A3 et A4 ont la même forme, c'est à dire l'égalité b/a = a/c. Un raisonnement rigoureux nécessite cette vérification.

 

Ainsi donc si un rectangle A4 a une largeur a = 21 cm, pour obtenir sa longueur, on multiplie ce nombre par la racine carrée de 2, environ 1,41. La longueur obtenue est 29,69, c'est à dire environ 29,7 cm. D'où le format 21 × 29,7 pour désigner le A4.

 

la longueur et la largeur d'une feuille A4 ont le même rapport de porportionnalité que celui de la longueur et la largeur d'une feuille A3.

 

Le A5 se déduit de même du A4, la longueur et la largeur d'une feuille A5 ont le même rapport de porportionnalité que celui de la longueur et la largeur d'une feuille A4. Deux feuilles A5 forment une feuille A4.

 

Quelles sont les dimensions des feuilles A3 et A5 ?

 

A suivre ....

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17 janvier 2011 1 17 /01 /janvier /2011 12:00

Un anime qui s'appelle Fractale diffusé sur le site de WAKANIM, en plus c'est en VO !

 

 

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14 janvier 2011 5 14 /01 /janvier /2011 12:00

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Curta_Type_II.jpg    Cet été, j'ai lu le roman de William Gibson intitulé Identification des schémas (Pattern Recognition), paru en 2003. Par ailleurs, je considère que c'est le roman de Gibson le plus abordable. Je ne dévoilerai pas grand  chose en disant que dans ce livre, un des personnage fait du trafic de Curta, une sorte de calculatrice qui m'a alors intrigué.

 

    La curta est une calculatrice mécanique qui tient dans la main. Elle a été produite entre 1948 et 1972. Son inventeur, Curt Hertzstark l'a mise au point alors qu'il était emprisonné dans le camp de concentration de Buchenwald durant la seconde guerre mondiale. Il a suvecu et après la guerre, il a amélioré sa calculatrice.

 

   La curta permet de réaliser les 4 opérations et de calculer les racines carrées !

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13 janvier 2011 4 13 /01 /janvier /2011 12:00
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Escalier_phare_eckmuhl_haut.jpg/800px-Escalier_phare_eckmuhl_haut.jpg

Voir les articles précédents :

 

 

Précédemment, j'en étais à chercher de combien de façons on peut monter un escalier de 10 marches. Mon approche est la suivante, j'ai commencé par énumérer de combien de façons on peut monter un escalier de 5, 6, 7 marches. Dans le tableau ci-dessous je résume je que j'ai trouvé :

 

Nombres de marches 0 1 2 3 4 5 6 7
Nombres de façons 1 1 2 3 5 8 13 21

 

On voit bien que ce n'est pas un tableau de proportionnalité. (Pourquoi ?)

 

J'ai touvé de combien de façons on peut monter 8 marches, puis 9 puis enfin 10 marches :

 

Nombres de façons de monter 8 marches

 

Il y a deux façons de monter ces 8 marches :

  • On commence par une marche, il en reste 7 à monter. Pour monter ces 7 marches, il y a 21 façons.
  • ou bien on commence par monter 2 marches, et il en reste 6 à monter. Pour monter ces 6 marches, il y a 13 façons.

Au total, cela fait 21+13=34 façons de monter ces 8 marches.

 

Nombres de façons de monter 9 marches

 

Il y a deux façons de monter 9 marches :

  • On commence par une marche, il en reste 8 à monter. Pour monter ces 8 marches, il y a 34 façons.
  • ou bien on commence par monter 2 marches, et il en reste 7 à monter. Pour monter ces 7 marches, il y a 21 façons.

Au total, cela fait 34+21=55 façons de monter ces 9 marches.

 

Nombres de façons de monter 10 marches

 

Il y a deux façons de monter 10 marches :

  • On commence par une marche, il en reste 9 à monter. Pour monter ces 9 marches, il y a 55 façons.
  • ou bien on commence par monter 2 marches, et il en reste 8 à monter. Pour monter ces 8 marches, il y a 34 façons.

Au total, cela fait 55+34=89 façons de monter ces 10 marches.

 

On peut compléter le tableau

 

Nombres de marches 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombres de façons 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

 

Je n'ai pas énumérer les 89 façons de gravir ces marches. Je le ferai par la suite. Pour cela, j'aurai besoin de l'aide de l'ordinateur car je n'ai pas le courage de toutes les énumérer.

 

Je répondrai aussi aux autres questions....

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8 janvier 2011 6 08 /01 /janvier /2011 12:00

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/The.Matrix.glmatrix.2.png/669px-The.Matrix.glmatrix.2.pngLe mot matrice nous est familier, même si l'on a un niveau de débutant en maths.

 

En effet, quiconque a vu la trilogie de science-fiction Matrix (La Matrice au Québec) a déjà entendu cette expression. Pour ceux qui se sont initiés à la lecture du genre cyberpunk, on pouvait trouver le mot matrice bien avant la célèbre trilogie des frères Wachowski dans les romans de William Gibson (un de mes écrivain favori, mais réputé difficile à lire...). Les romans dans lequel on retrouve la matrice sont Neuromancien, Comte Zero et Mona Lisa s’éclate, ils constituent eux aussi une trilogie. 


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Scylla-_a_book_of_the_dead.jpg/336px-Scylla-_a_book_of_the_dead.jpg

 

Dans ces oeuvres le terme matrice désigne un monde virtuel. Ce monde constitue pour les personnages le monde réel, celui dans lequel ils s'épanouissent. On pourrait le comparer grossièrement à un internet duquel il est extrèmement difficile de se détacher.


Ainsi donc dans la Science-Fiction (SF), le mot matrice, du latin matrix/matricis, la mère, désigne un élèment qui englobe, qui entoure et qui construit. Il est aussi employé pour désigner un élément reproducteur biologique ou pas.

 

 

 

 

 

Ci-contre l'écrivain William Gibson.

 

 

 

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg/468px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg

Carl Friedrich Gauss

 En mathématiques, nous nous intéressons aux nombres, et les mathématiciens comme Carl Friedrich Gauss (1777-1855, voir portrait à gauche) utilisent des tableaux de nombres pour résoudre des équations à plusieurs inconnues.

Plus tard, Arthur Cayley, considéré comme l'inventeur des matrices, et son collaborateur Sylvester celui qui a utilisé le mot matrice pour la première fois en mathématiques, feront grand usage de ces tableaux de nombres.

Arthur Cayleyhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Arthur_Cayley.jpg/395px-Arthur_Cayley.jpg 

 

 


 

Aujourd'hui les matrices de nombres sont entourées par des parenthèses. En voici des exemples ci-dessous


  matrice1.png   matrice4.png matrice5.png 
  matrice3.png

  Les matrices de nombres peuvent prendre diverses formes.

Elles peuvent n'avoir qu'une seule ligne (matrice ligne) ou qu'une seule colonne (matrice colonne).

  matrice2.png

 

Plus généralement, on pourrait construire des matrices avec n'importe quelle donnée comme en informatique.

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7 janvier 2011 5 07 /01 /janvier /2011 12:00

Je vais essayer de répondre à la question posée dans Escaliers (Rèz de chaussée) :

 

De combien de façons puis-je monter un escalier de 10 marches ?

 

Je rappelle que je peux monter les marches par une ou par deux.

 

Dans Escalier (2ème étage), j'avais énuméré toutes les possibilité de gravir cet escalier en utilisant un codage par des chiffres et en rangeant ces codages dans l'ordre lexicographique : 

 

Escalier de 4 marches :

  1. 1-1-1-1
  2. 1-1-2
  3. 1-2-1
  4. 2-1-1
  5. 2-2

En utilisant cet ordre lexicograohique, je suis certain de ne rien oublier. La seule chose à vérifier est que la somme des chiffres soit égale au noombre de marches à gravir, ni plus ni moins.

 

Avant de m'attaque à un escalier de 10 marches je vais commencer par ajouter une marche.

 

Escalier de 5 marches :

  1. 1-1-1-1-1
  2. 1-1-1-2
  3. 1-1-2-1
  4. 1-2-1-1
  5. 1-2-2
  6. 2-1-1-1
  7. 2-1-2
  8. 2-2-1

Il y a 8 façons de monter un escalier de 5 marches. Donc pour un escalier de 10 marches, il y a 16 façons.

 

Je vais vérifier que mon résultat est bon. Avec un escalier de 6 marches :

 

Escalier de 6 marches :

  1. 1-1-1-1-1-1
  2. 1-1-1-1-2
  3. 1-1-1-2-1
  4. 1-1-2-1-1
  5. 1-1-2-2
  6. 1-2-1-1-1
  7. 1-2-1-2
  8. 1-2-2-1
  9. 2-1-1-1-1
  10. 2-1-1-2
  11. 2-1-2-1
  12. 2-2-1-1
  13. 2-2-2

Ici on trouve 13 façons pour 6 marches. Je me rends compte que mon raisonnement risque d'échouer. En effet pour 3 marches, 2 façons sont possibles, mais pour 6 marches, il y a en déjà 13. Il n'y a donc pas de proportionnalité entre le nombre de marches et le nombre de façons de les monter. J'aurai pu m'en douter avant...

 

J'essaie pour un escalier de 7 marches.

 

Escalier de 7 marches :

  1. 1-1-1-1-1-1-1
  2. 1-1-1-1-1-2
  3. 1-1-1-1-2-1
  4. 1-1-1-2-1-1
  5. 1-1-1-2-2
  6. 1-1-2-1-1-1
  7. 1-1-2-1-2
  8. 1-1-2-2-1
  9. 1-2-1-1-1-1
  10. 1-2-1-1-2
  11. 1-2-1-2-1
  12. 1-2-2-1-1
  13. 1-2-2-2
  14. 2-1-1-1-1-1
  15. 2-1-1-1-2
  16. 2-1-1-2-1
  17. 2-1-2-1-1
  18. 2-1-2-2
  19. 2-2-1-1-1
  20. 2-2-1-2
  21. 2-2-2-1

Pour 7 marches, cela fait 21 façons. Cela m'a pris du temps pour tout énumérer (en fait non j'ai triché .... ).

 

En comptant 20 secondes par codes, cela m'a pris 20×21=420 s., c'est à dire 7 minutes, oui j'ai pris mon temps.  J'avoue, je mens peut-être....

 

En tout cas je n'ai pas envie d'énumérer toutes les façons de monter 8, puis 9 puis 10 marches. Heureusement j'ai trouvé une méthode plus astucieuse, je ne suis pas un ordinateur !

 

 

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3 janvier 2011 1 03 /01 /janvier /2011 12:00

 

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Faux_Escalier.JPG/790px-Faux_Escalier.JPG  

Ici je réponds à la deuxième question de l'article Escaliers (Rèz de chaussée).

 

De combien de façons puis-je monter un escalier à quatre marches ?

 

Pour trouver le nombre de façons de monter cet escalier, plusieurs possibilités s'offrent à moi. Je peux énumérer, en faisant des schémas ou en utilisant des nombres, des codes, toutes les façons de monter cet escalier.

Ici, je vais utiliser un code. Par exemple, le code 2-2 correspondra à une façon de monter cet escalier.

Le code 2-1-1 correspondra à une autre façon.

 

  • 2-2 : Je monte 2 marches puis 2 marches
  • 2-1-1 : Je monte 2 marches, puis 1 marche, puis 1 marche.

Enumérons toutes les possibilités :

  • Toutes celles commençant par 1 :
    • 1-1-1-1
    • 1-1-2
    • 1-2-1
  • Toutes celles commençant par 2 :
    • 2-1-1
    • 2-2

Remarques : Pour ranger ces codes, j'ai utilisé un ordre lexicographique (alphabétique) appliqué aux chiffres (1=A, 2=B). Comme çà, je suis sur de ne rien laisser de côté.

 

En tout il y a donc 5 façons de monter l'escalier : 3 commençant par 1 et 2 commençant par 2.

 

A suivre ...

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31 décembre 2010 5 31 /12 /décembre /2010 12:00

Cet article fait suite à Escaliers (Rèz de chaussée).

 

De combien de façon puis-je monter un escalier de 3 marches ?

 

        Peut-être avez-vous déjà trouvé une réponse à cette question. Je rappelle que je peux monter les marches une par une, ou deux à la fois.

 

J'ai schématisé ci-dessous les différentes façons de monter un escalier. J'en ai trouvé trois. En bleu, deux marches sont montées à la fois, en rouge une marche est montée.

 

 Je commence par monter une marche.

Il m'en reste deux à monter, je les monte une par une.

esc3_1.png
 

 Je commence par monter une marche.

Il m'en reste deux à monter, je monte les deux d'une seule façon.
 esc3_3.png

 Il n'y a plus de façon de monter en commençant par la montée d'une seule marche. En effet les deux marches restantes (voir les deux schémas précédents) se font soit d'un seul coup soit en deux fois.

 

Donc ici, je commence par monter les deux premières marche d'un pas. Pour finir je dois obligatoirement monter la dernière marche d'une seule façon.

 esc3_2.png


Ainsi on voit qu'il n'y a que 3 façons de monter cet escalier.

 

D'autres éléments de réponses aux questions de Escaliers seront donnés par la suite.

 

A suivre ...


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  • : Maths Otak'
  • Maths Otak'
  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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