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11 janvier 2014 6 11 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet suit :

Il est impossible d'écrire la fonction la fonction f définie par

  • f(x)=6x+4 si x≤1
  • f(x)=2x+8 si x≥1

sous la forme |ax+b|+cx+d.

 

Fonction de la forme -|ax+b|+cx+d

D'après la première propriété, si a>0 si g est définie sur R par g(x)=-|ax+b|+cx+d, alors

  • g(x)=-(-ax-b) + cx+d = (a+c)x+(b+d) si x ≤ -b/d
  • g(x)=-(ax+b)+cx+d=(-a+c)x+(d-b) si x≥-b/d

Si f(x) peut s'écrire sous cette forme, alors en trouvant a,b,c,d, a>0 tels que

  • a+c=6
  • -a+c=2
  • b+d=4
  • d-b=8

alors f pourra s'écrire sous cette forme. C'est une concession que je veux bien faire.

Trouvons donc a,b,c,d :

  1. les deux premières lignes donnent 2c=8 d'où c=4 puis a=2
  2. les deux lignes suivantes donnent 2d=12, d'où d=6 puis b=-2.

On a donc trouvé a,b,c,d avec a>0, donc f peut s'écrire

f(x)=-|2x-2|+4x+6

 

Fonctions continues affines en deux morceaux

Propriété. Si f est une fonction continue affine  en deux morceaux, alors il existe a,b,c,d, avec a>0 tels que

  • pour tout x, f(x)=|ax+b|+d, ou
  • pour tout x, f(x)=-|ax+b|+d

Lemme. Considérons deux systèmes d'équations :

 

Système 1 Système 2

a+c=m

-a+c=q

b+d=p

-b+d=r

-a+c=m

a+c=q

-b+d=p

b+d=r

 

 

Alors, les systèmes d'équation suivants ont toujours une et une seule solution.

Si m est distinct de q, une seule de ces solutions est telle que a>0.

 

Démonstration du lemme.

Je résouds les deux systèmes

 

 

Système 1 Système 2

a+c=m et

-a+c=q

donnent c=(m+q)/2 et a=(m-q)/2

b+d=p

-b+d=r

donnent d=(p+r)/2 et b=(p-r)/2

-a+c=m et

a+c=q

donnent c=(m+q)/2 et a=(q-m)/2

-b+d=p

b+d=r

donnent d=(p+r)/2 et b=(r-p)/2

 

Pour les deux système on a une solution. En particulier pour a vaut
(m-q)/2 dans le système 1 et (q-m)/2 dans le deuxième. Comme (m-q)/2 et (q-m)/2 sont des nombres opposés, si q et m sont distincts, a est bien strictement positif pour un seul des deux systèmes.


 

Démonstration de la propriété.

f est continue en deux morceaux signifie qu'il existe un réél γ (gamma) tel que

  • f(x)=mx+p si xγ , où m,p sont des réels
  • f(x)=qx+r si xγ, où q,r sont des réels

Cas 1. Si q=m, alors comme f est continue, on a mγ+p=mγ+r d'où p=r. Das ce cas, f est affine en un seul morceau : f(x)=mx+p = |0x+x|+mx+p=- |0x+x|+mx+p.

 

Cas 2. On peut utiliser le lemme. Un seul des deux systèmes a une solution pour laquelle a>0. Si c'est le système 1, alors d'après la partie précédente :


Si c'est le système 2, alors d'après la propriété 2

c'est à dire

 

 

La démonstration est finie. Elle nous permet de reformuler la propriété avec plus de précision et de concision. □

 

Propriété améliorée. Si f est une fonction continue affine en deux morceaux telle qu'il existe un réél γ (gamma) tel que

  • f(x)=mx+p si xγ , où m,p sont des réels
  • f(x)=qx+r si xγ, où q,r sont des réels

 

alors

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10 janvier 2014 5 10 /01 /janvier /2014 12:00

Mesurer l'écartement entre deux demi-droites droites

Ci-dessous deux demi-droites ayant la même origine

 

 

 

  45.png

On voudrait pouvoir mesurer leur écartement. On peut alors tracer un cercle comme ceci et mesurer la longueur de l'arc de cercle entre les deux demi-droites. Mais lequel choisir ?

 

46.png

La mesure de l'arc rose ou celle de l'arc vert ? Avec un rapporteur comme celui ci-dessous, c'est la longueur de l'arc rose que l'on va mesurer.

Goniometro

En effet, l'arc rose est plus court qu'un demi-cercle de même rayon, tandis que l'arc vert est plus grand (nécessairement) qu'un demi-cercle de mâme rayon. Le rapporteur lui a une forme de demi-disque (si on ne compte pas la partie inférieure située sous le trait horizontal).

 

D'autres rapporteurs permettent des mesures d'angles plus grands comme celui ci-dessous :

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Protractor_katomierz.jpg/581px-Protractor_katomierz.jpg


Mais au fait, qu'est-ce qu'un angle ?

Angle orienté

 

Pour parler d'angle, nous devons tout d'abord parler d'orientation. Cela signifie que nous devons définir une façon de tourner qui sera la façon positive, appelé sens direct et une façon de tourner qui sera négative qui sera qualifiée de sens indirecte.

 

Orientation

 

Ce choix est arbitraire, on a décidé que le sens inverse des aiguilles d'une montre serait le sens direct. 

47-copie-1.png

48.png
Sens direct Sens indirect

 

Cercle unité

Avant de mesurer les angles, mesurons les arcs de cercle. Palçons nous dans un repère orthonormé d'origine O. Regardons le cercle unité, de rayon 1 et de centre O. 

 

La formule

Périmètre=2π × Rayon


dit que le périmètre du cercle est 2π.


La mesure d'un arc de cercle sera donc comprise entre 0 et 2π si l'on parcourt l'arc dans le sens direct, et comprise entre -2π et 0 si on le parcourt dans le sens indirect.

 

49.png

 

Sur la figure ci-dessus, l'angle en bleu est compris entre 0 et  π/2. Il est noté :

 

Quelques exemples :

51.png  52.png
50   53.png



Remarques. 

  • Si l'on dépasse un tour dans le sens direct, alors il sera supérieur à 2π, si l'on dépasse un trou dans le sens indirect, il sera inférieur à -2π. Je reviendrai sur ce sujet une autre fois.
  • Avec façon de mesurer les angles, l'unité de mesure est le radian. Les rapporteurs, en général mesurent en degrés. Cependant la conversion angles degré est facile, puisque de manière proportionnelle : π rad = 180 °


Angle orienté

Revenons à un angle entre deux demi-droites

Pour mesurer cet angle, on se place dans un repère orthonormé orienté positivement dans le sens direct. La mesure principale de l'angle


 

est définie comme la longueur de l'arc de cercle joignant B à A de centre O et de rayon 1 dans le sens direct  (O est l'origine commune des demi-droites).

 

Remarques.

  • En ajoutant 2π à cette mesure, on a la mesure de l'angle obtenu en faisant faire un tour complet à la demi-droite [OA) (dans le sens direct).
  • En ajoutant kπ à cette mesure, on a , plus généralement, la mesure de l'angle obtenu en faisant faire k tours complets à la demi-droite [OA) (k est un entier; s'il est positif, on fait k tours dans le sens direct, s'il est négatif ces tours se font dans le sens indirect) .

 

 

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9 janvier 2014 4 09 /01 /janvier /2014 00:00

Cet article fait suite à La notation Σ

 

Voici les réponses aux différents développements qu'il était proposé de réaliser :

 

Somme N°1 : S1

   

L'indice est "a" et le terme général est 

 

  Ainsi

 

 

Somme N°2 : S2

 

L'indice est α, il faut le remplacer par toutes les valeurs entières comprises entre -7 et 7, et cela donne


 

Somme N°3 : S3

Pour calculer

nous devons déjà connaître la valeur de l'indice de fin qui lui même est une somme :


 


 

Ainsi la somme cherchée est

 

Somme N°4 : S4

La somme à calculer était

 

 


Ici on remarque que le terme général est lui même une somme :

On a donc


 

avec

 

 

  36.png


 

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8 janvier 2014 3 08 /01 /janvier /2014 12:00

Ce quadrilatère possède un cerle tangeant à ses quatre côtés.

Démontrer que

JM+LK=ML+JK

 

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6 janvier 2014 1 06 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet suit : Vecteurs en dimension 2

 

Ici faisons comme si l'on ne connaissait pas la définition des termes droites, segment et milieu. Sur ce site, ces termes ont déjà été utilisés, mais quels sens avaient-ils ? Pour les définir nous allons utiliser les vecteurs.

 

Vous pourriez me dire alors, que pour définir les vecteurs de R², j'ai utilisé le mot "droite" dans l'article L'ensemble R² : présentation . Ce mot droite y a été employé pour désigner les axes de R². On aurait pu ne pas utiliser ce mot car il servait uniquement à donner une présentation géométrique de R², une présentation intuitive, dont on aurait pu se passer.

 

Une définition préliminaire :

 

Définition 1. On dit que deux vecteurs

et
sont colinéaires s'il existe un nombre réel k non nul tel que

 

 

Exemple.

55.png

On a

 

 

 

 

donc

Donc

et l'on peut même dire que


(Pourquoi ?)

 

 

 

Définition 2. Considérons un point de R², A (xA,yA) et un vecteur non nul (ses coordonnées ne sont pas toutes deux égales à 0)

La droite passant par A et dirigée par ce vecteur est l'ensemble des points M tels que

On dit alors que le vecteur

est un vecteur directeur de la droite.

58

 

Si A et B sont deux points distincts, on appelle la droite (AB) la droite passant par A et dirigée par le vecteur

La droite (AB) est donc constituée des points M tels que

avec k réel quelconque.

 

 

Remarque. (AB) représente le même ensemble que (BA) (pourquoi?)


Définition 3. Si A et B sont deux points, le segment [AB] est l'ensemble des points M tels que


avec k dans l'intervalle [0;1].

 

 

56.png

 

 

 

Sur le dessin ci-dessus, en jaune le segment [AB], en jaune et noir, la droie (AB).

 


Remarque. [AB] représente le même ensemble que [BA] (pourquoi?)

 

Définition 4. On appelle le milieu de [AB] le point I tel que


Remarque : Le milieu de [AB] est bien défini car 

 


(Pourquoi ?)

 

57.png

Ci-dessus, I est le milieu de  [AB].

 


 


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4 janvier 2014 6 04 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet fait suite à Fonction du type f(x)=|ax+b|+cx+d dans lequel nous avons vu que

 

les fonctions du type f(x)=|ax+b|+cx+d sont continues affines en deux morceaux.

 

Définition. Une fonction f définie sur R est dite continue affine en deux morceaux s'il existe un réél γ (gamma) tel que

  • f(x)=mx+p si xγ , où m,p sont des réels
  • f(x)=qx+r si xγ, où q,r sont des réels

Remarques.

  1. Cette définition sous-entend que mx+p=qx+r lorsque x=γ, c'est à dire : mγ+p=qγ+r 
  2. C'est justement pour cette raison que la fonction est qualifiée de continue.

Exemple. La fonction f définie par

  • f(x)=6x+4 si x≤1
  • f(x)=2x+8 si x≥1

est continue affine en deux morceaux car 6×1+4=10=2×1+8.

 

Voici sa représentation graphique

 

54.png

D'après le billet précédent, si f(x) peut s'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d pour tout x, avec a>0, alors on a : 

  • (c-a)x+(d-b)=6x+4
  • (a+c)x+(b+d)=2x+8

Cela donne l'idée de prendre a,b,c,d tels que :

  • c-a=6
  • d-b=4
  • a+c=2
  • b+d=8

Résolvons ce système d'équations à 4 inconnues en deux fois :

  • c-a=6 et a+c=2 donnent en les additionannt : 2c=8 d'où c=4. En remplaçant c par 4 dans la première équation, on a 4-a=6 d'où a=-2
  • d-b=4 et b+d=8 donnent en les additionnant : 2d=12 d'où d=6. En remplaçant d par 6 dans la première équation, on a b=2.

Ceci pose un problème car on a trouvé a=-2, et cela contredit que a>0.

 

Donc la fonction f donnée en exemple ne peut pas s'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d avec a>0.

 

Peut-on écrire alors avoir f(x)=|a'x+b'|+c'x+d' avec a'<0 ? La réponse est non. En effet,

|a'x+b'|=|-(a'x+b')|=|-a'x-b'|. Cela montre qu'il suffit de considérer les fonctions f telles que f(x)=|ax+b|+cx+d avec a>0.

 

Donc notre fonction contine et affine par morceaux ne peut pas s'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d.

 

Quelle déception...

 

Quitte à faire un compromis, qu'est-ce qui pourrait nous satisfaire ?

 

A suivre....

 


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2 janvier 2014 4 02 /01 /janvier /2014 12:00

Si je prends une feuille au format A4, et que je replie le grand côté sur le petit côté j'obtiens un trapèze.

Ce trapèze semble particulier car si je replie le côté C (issue du pliage, voir vidéo) sur le  côté B, ils semblent correspondre, Pourquoi ?

 

 


 

 

 

La réponse dans ..... non pas dans une semaine tout compte fait ... un peu plus tard...

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28 décembre 2013 6 28 /12 /décembre /2013 12:00

Pour la définition et notation | | "valeur absolue", on pourra se référer à Valeur absolue

 

Fonction du type g(x)=|ax+b|

Exemple. g(x)=|2x-5|

Par définition de la valeur absolue :

  • si (2x-5)<0, g(x)=-(2x-5)=-2x+5 et
  • si  (2x-5)>0, alors g(x)=-(2x-5), tandis que
  • si 2x-5=0, g(x)=0.


2x-5=0 ⟺ 2x=5 ⟺ x=2,5
Comme la fonction affine x ⟼ 2x-5 est croissante (son coefficient directeur est 2>0), on en déduit aussi que

  • 2x-5<0 ⟺ x<2,5
  • 2x-5>0 ⟺ x>2,5


On peut donc en déduire que

  • g(x)=-2x+5 si x<2,5
  • g(2,5)=0
  • g(x)= 2x-5 si x>2,5

Ci-dessous une représentation graphique de g


 

Propriété.    Si a et b sont des réels, aétant non nul,  alors en notant g(x)=|ax+b| :

  • Si a>0 :
    • g(x)=-ax-b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=ax+b si x>-b/a
  • Si a<0 :
    • g(x)=ax+b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=-ax-b si x>-b/a

Démonstration. On procède comme dans l'exemple :

ax+b=0⟺ax=-b⟺x=-b/a


  • Si a>0 : x  ⟼ ax+b est strictement croissante
    • g(x)=-ax-b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=ax+b si x>-b/a
  • Si a<0 : x  ⟼ ax+b est strictement décroissante
    • g(x)=ax+b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=-ax-b si x>-b/a

FIN de la Preuve.

 

Remarques.

  1. g est donc définie par 2 formules, une pour x avant -b/a et une pour x après -b/a, mais en remplaçant x par -b/a, dans ces deux formules, on obtient 0. 
  2. Dans le cas où a=0 : g(x)=|b| définit est une fonction g constante.

 

Fonction du type f(x)=|ax+b|+cx+d

En appliquant ce qui précède, on a la propriété suivante

 

Propriété. Si a,b,c,d sont des réels avec a différent de 0, alors notons f la fonction définie par f(x)=

|ax+b|+cx+d : 

  • Si a>0 :
    • g(x)=(c-a)x+(d-b) si x<-b/a
    • g(-b/a)=-bc/a + d
    • g(x)=(c+a)x+(d+b) si x>-b/a
  • Si a<0 :
    • g(x)= (c+a)x+(d+b) si x<-b/a
    • g(-b/a)=-bc/a + d
    • g(x)=(c-a)x+(d-b) si x>-b/a

Exemple.  Soit f la fonction définie par f(x)=|-5x+8|-2x+1.

 

Alors -b/a=-8/-5=1,6 et

  • si x<1,6 : f(x)=(-2-5)x+(1+8)=-7x+9
  • si x=1,6 : f(x)=-2×1,6+1=-3,2+1=-2,2
  • si x>1,6 : f(x)=(-2+5)x+(1-8)=3x-7

Voici une repésentation graphique :

Remarques :

  1. La fonction f est affine par morceaux : les deux "morceaux" de f sont des fonctions affines : x⟼ (c-a)x+(d-b) et x⟼ (c-a)x+(d-b)
  2. Ces deux morceaux se recollent parfaitement, puisque si'lon remplace x par -b/a dans ces deux formules affines, on obtient le même nombre -bc/a + d. f est continue.

Question. Toute fonction affine par morceau, en deux morceaux, continue, peut-elle être obtenue de la sorte ? Autrment dit, peut-on l'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d pour des nombres a,b,c,d à déterminer ?

La réponse prochainement....

 

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24 juin 2012 7 24 /06 /juin /2012 14:48

 

 

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2 juillet 2011 6 02 /07 /juillet /2011 11:00

Le problème ci-dessous a été publié en 1661 et en 1684 par Isomura Yoshinori (1630-1710) dans Sanpô Ketsu Gisho (mathématiques profondes). Isomura était un samurai du clan Nihonmatsu dans la préfecture de Fukushima.

 

Références. Fukagawa Hidetoshi, Tony Rothman, Sacred mathematics, Japanese Temple Geometry (Priceton University Press, 2008).

 

Problème.

  1. Trouver le volume d'un tétraèdre régulier
    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif?uselang=fr
  2. Etant donné un triangle équilatéral de côté 1 comme dans la figure ci-dessous, tracer trois droites vers le centre de gravité, construire trois triangles égaux et leur cercles inscrits. Montrer que le diamètre des cercles est 0,26794.
    jap1_qu1.png
  3. Etant donné un pentagone régulier de côté 1 comme dans la figure ci-dessous, tracer 5 triangles et 5 cercles inscrits. Montrer que le diamètre est 0,50952.
    http://img11.imageshack.us/img11/3519/jap1qu2.png
    Les réponses plus tard....
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