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26 décembre 2010 7 26 /12 /décembre /2010 21:00

     Le nombre d'or est un nombre constructible. Nous ne pouvons pas en donner la valeur décimale exacte, ni l'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers. Cependant, il est possible de le construire. Pour voir ce qu'est un nombre constructible : Nombres constructibles

 

On part du point A et de l'axe des abscisses. L'unité nous donne le point C (1;0).


Le cercle de centre C passant par A recoupe l'axe des abscisses en D d'abscisse 2.

 

Le cercle de centre D passant par A recoupe le cercle l'axe des abscisses en  B d'abscisse 4.



cerc s

 

D est donc le mileu de [AB]. Dans Nombres constructibles, il a été vu que la médiatrice d'un segment est constructible. On peut donc construire la médiatrice de [AE] comme ci-dessous. Cette droite passe par D perpendiculairement à (AB).

media

 

 

Le cercle de centre D passant par C coupe sur la figure la droite  construite précédemment en un point G de coordonnées (2;1). On obtient un triangle rectangle ADG rectangle en D.

tri_hypo_rac5-copie-2.png

Dans le triangle ADG rectangle en D, on a d'après le théorème de Pythagore :

pyth_rac5.png

 Maintenant, je trace le cercle de centre G passant par D. Son rayon est 1.

 Ce cercle coupe la droite (AG) en deux points. Chaque point se situe à 1 unité de G et celui qui est à l'extérieur de  [AG] est noté E.

 Comme G appartient à [AE], AE=AG+GE.

Donc

AE.png

ce qui est le double du nombre d'or.

 

rac5plus1.png

 

 La médiatrice de [AE] peut être construite. On obtient ainsi le milieu H de [AE]. Donc

nb_orr.png

Il ne reste plus qu'à tracer le cercle de centre A passant par H pour obtenir le point K dont l'abscisse est le nombre d'or φ.

 

nb_or-copie-1.pngLe nombre d'or est donc constructible.

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30 novembre 2010 2 30 /11 /novembre /2010 17:27

Voici différents types de nombres :

  • Les entiers naturels :

 0, 1, 2, 3, 4, 5,  .........

  • Les entiers relatifs

......, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......

  • Les nombres rationnels
c'est l'ensemble des fractions 
frac3.png avec a,b entiers relatifs et b non nul. Par exemple : frac1.png ou frac2.png

 

 

Les entiers naturels sont tous des nombres relatifs (ce sont ceux qui sont positifs).

Les nombres relatifs sont tous des nombres rationnels car pour n'importe quel entiers relatif n, on peut écrire

frac4.png

  • La racine carrée de 2, c'est à dire le nombre positif dont le carré est 2 n'est pas rationnel (n'en déplaise à Pythagore!). C'est un nombre irrationnel.
  • Les nombres constructibles :

Les points constructibles sont les points que l'on peut représenter à la règle (non graduée) et au compas en partant d'une origine et d'une unité dans un repère orthonormé. Les axes sont appelées dès le départ droites constructibles. Les nombres constructibles sont les coordonées de ces points. Pour construire un nombre à la règle et au compas, on peut :

  1. Tracer des cercles dont les centres sont des points constructibles et passant par un point constructible; ce sont des cercles constructibles.
  2. Tracer des droites, segment, demi-droites passant par deux points constructibles; ce sont des droites constructibles.
  3. Obtenir de nouveaux points constructibles comme étant les intersections de droites constructibles ou de cercles constructibles.

Au départ, nous avons l'origine A, le point B de coordonnées respectives (0,0) et (1,0). Ce sont les deux premiers nombres constructibles.

Les deux axes sont des droites constructibles.

const1-copie-1.png

 On trace le cercle de centre B et passant par A.

Il recoupe (AB) en D. Comme le diamètre du cercle est 2, D a pour coordonnées (2,0).

const2-copie-1

  On trace le cercle de centre A passant par D et le cercle de dentre D passant par A.

Ils se coupent en un point nommé E.

Les coordonnées de E ne nous intéressent pas mais nous savons que ce point est équidistant de A et de D.

 

 

  const3.png

  Comme B aussi est équistant de A et D, on en déduit que la droite (BE) est la médiatrice de [AD].

 

Remarquons au passage, que si deux points sont constuctibles la médiatrice du segment ayant ces deux points pour extrémités est contructible.

  const4.png

 

Traçons le cercle de centre B passant par A. Son rayon est 1.

Les triangle ABF est isocèle rectangle en B.

En appliquant le théorème de Pythagore, on calcule que AF est la racine carrée de 2.


On peut tracer le cercle de centre A passant par F. Comme son rayon est la racine carrée de 2, c'est aussi l'abscisse du nouveau point d'intersection de l'axe des abscisses et de ce cercle.

 

const5.png

 

 

On a donc construit H d'abscisse racine carrée de 2 et la racine carrée de 2 est un nombre constructible.

 

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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