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3 juin 2011 5 03 /06 /juin /2011 12:00

 

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2 juin 2011 4 02 /06 /juin /2011 12:00

Le contenu de cette page a été déplacé ici

 

http://3.bp.blogspot.com/-Td7BRiX675E/VCVf1ZaqXMI/AAAAAAAAAB4/mgdTZv0ofMc/s1600/ent%25C3%25AAte2.png

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1 juin 2011 3 01 /06 /juin /2011 12:00

Si l'on peut diviser un entier par un autre entier, obtenant un résultat entier, on dit que le premier des entier est divisible par les deux autres. Par exemple, 35:5=7. 5 et 7 sont des diviseur de 5.

 

Il revient au même de dire que 35=7×5. Comme 7 et 5 sont tous les deux entiers, ce sont des diviseurs de 35. Cette formulation de la divisibilité est mieux car elle n'oblige pas à faire une division.

 

Définition. On dit qu'un nombre entier a est divisible par un nombre entier b s'il existe un nombre entier q tel que a=b×q=bq.

 

Comme q et b ont le même rôle, a est aussi divisible par q.

On dit que a est un multiple de b et de q.

On dit que b et q sont des diviseurs de a.

 

Lorsque a est positif, les diviseurs positifs de a ne sont pas plus grand que a.

 

Quels sont les diviseurs de 45 ?

45=9×5=3×15 donc 3, 9, 5 et 15 sont des diviseurs de 45. 1 et 45 sont aussi des diviseurs de 45 car 45=1×45.

 

Remarque : Le nombre 1 divise tous les entiers. Chaque entier est divisible par lui-même.

 

Lorsqu'un entier n'est divisible que par 1 et lui-même, on dit que c'est un nombre  premier .

 

45 possède-t-il d'autre diviseurs que 1,3,5,9,15 et 45 ?

 

  • 2 n'est pas un diviseur de 45 car 45 est impair
  • 4 n'est pas un diviseur de 45 car 4=2×2 donc si 45 était divisible par 4, il le serait aussi par 2. De même 45 n'est divisible par aucun nombre pair : 0,2,4,6,.....,42,44
  • 7 n'est pas un diviseur de 45 : 7×6=42 < 45 <7×7=49
  • 10 n'est pas un diviseur de 45 car son chiffre des unités est 5
  • 11 n'est pas un diviseur de 45 car 11×4=44 et 11×5=55
  • 13 n'est pas un diviseur de 45 car 13×3=39 et 13×4=52
  • 17 n'est pas un diviseur de 45 car 17×2=34 et 17×3=51
  • 19 n'est pas un diviseur de 45 car 19×2=38 et 19×3=57
  • 21 n'est pas un diviseur de 45 car 21×2=42 et 21×3=62
  • 23 n'est pas un diviseur de 45 car 23×2=46
  • les nombres plus grand que 23 (je ne parle pas de 45 lui-même) ne peuvent pas diviser 45 car leur double est déjà plus grand que 45

 

Remarque : En procédant de la sorte pour chercher les diviseurs posotifs d'un nombre positif, il est inutile d'aller plus loin que la moitié du nombre. En effet le double d'un nombre plus grand que cette moitié serait plus grand que le nombre dont on cherche les diviseurs.

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31 mai 2011 2 31 /05 /mai /2011 12:00

Comment savoir si un nombre heureux ?

 

1 est heureux car 1²=1

 

2²=4 donc 2 n'est pas heureux.

 

3²=9 donc 3 n'est pas heureux.

 

4²=16 ----> 1²+6²=1+36=37

 ----> 3²+7²=9+49 = 58

 ---->5²+8²=25+64 =89

 ----> 8²+9²=64+81=145

 ----> 1²+4²+5²=1+16+25=42

----> 4²+2²=16+4=20

----> 2²+0²=4+0=4 donc 4 n'est pas heureux

 

5²=25 ---->2²+5²=4+25=29

  ---->2²+9²=4+81=85

  ---->8²+5²=64+25=89 [On peut réutiliser les calculs faits pour 4 à partir de la 3è ligne Ctrl+C puis Ctrl+V]

 ----> 8²+9²=64+81=145

  ----> 1²+4²+5²=1+16+25=42

 ----> 4²+2²=16+4=20

 ----> 2²+0²=4+0=4 donc 5 n'est pas heureux

 

6²=36 ----> 3²+6² = 9+36=45

 ----> 4²+5²=16+25=41

 ----> 4²+1²=16+1=17

----> 1²+7²=1+49=50

----> 5²+0²=25+0=25

---->2²+5²=4+25=29 [On peut réutiliser les calculs faits pour 5 à partir de la 1è ligne Ctrl+C puis Ctrl+V]

---->2²+9²=4+81=85

  ---->8²+5²=64+25=89 

 ----> 8²+9²=64+81=145

  ----> 1²+4²+5²=1+16+25=42

 ----> 4²+2²=16+4=20

 ----> 2²+0²=4+0=4 donc 6 n'est pas heureux

 

7²=49 ----> 4²+9²=16+81=97

 -----> 9²+7²=81+49=130

----> 1²+3²+0²=1+9+0=10

----> 1²+0²=1+0=1 donc 7 est heureux

 

Mais au fait qu'est-ce q'un nombre heureux ?

 

A suivre ....

 

 

 

 

 

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30 mai 2011 1 30 /05 /mai /2011 12:00

Suite de Les nombres rationnels sont construcibles

 

Les nombres rationnels sont constructibles, ne veut pas dire que tous les nombres sont rationnels. Je vais vous construire un nombre qui n'est pas rationnel.

 

Construction du nombre

 

Je construis le point A de coordonnées (1;1) comme points d'intersection de la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par C (1;0) et de la perpendiculaire aux ordonnées pasant par B (1;0). On peut construire B en faisant un cercle de rayon [OA] centré en O (0;0) en en considérant son intersection avec les ordonnées.

 

constr rac2 etap1

Ensuite je trace le cercle de centre O et de rayon OA. Il coup la demi-droite [OC) en un point D (OA;0).

C'est ce point D dont l'abscisse OA m'intéresse. Le triangle OCA est rectangle en C donc d'après le théorème de Pythagore:

OA²=OC²+OA²=1²+1²=1+1=2

Notons d=OA. On a donc d²=2, d étant positif. On en déduit que le nombre d est la racine carrée de 2.

 

rac2-1.png

 

Preuve que racine de 2 n'est pas rationnel 

 

Si d était rationnel, on pourrait écrire rac2-2.png

où p et q sont des nombres entiers naturels non-nuls. On pourrait alors supposer que cette fraction est déjà simplifiée, ou alors le faire tout de suite. En particulier, après cette simplification, p et q ne peuvent pas être tous deux pairs.

 

La chose chose que l'on connait de d est que son carré est 2. Je vais m'en servir :

rac2-3.png

p² serait donc le double de q², donc p² est pair. Dans ce cas il serait nécessaire que p lui même soit pair.  En effet un nombre impair est de la forme 2k+1, son carré est donc (2k+1)²=(2k)²+2×2k×1+1²=4k²+4k+1 (utilisation d'une identité remarquable) d'où (2k+1)²=2(2k²+2k) + 1 et donc le carré d'un nombre impair est impair.

p serait donc pair et l'on pourrait écrire : p=2m. Au carré cela donne p²=4m². Donc 4m²=2q² puis 2m²=q². Donc q² serait pair et  donc q serait lui-même pair. Pourtant, p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux  comme cela a été dit. C'est parce qu'en fait p et q n'existent pas, ce qui veut dire que d n'est pas rationnel ! 

 

C'est une démonstration par l'absurde que j'ai utilisée ici. Cette démonstration est une des plus connues et des plus anciennes.

 

Conclusion

 

On peut donc construire des nombres qui ne sont pas rationnels, la racine carré de 2 en est un exemple, mais il y en a une infinité d'autres. En prenant un nombre au hasard sur l'axe des abscissess, les irationnels occupent tellement de places, qu'on peut être presque sur de tomber sur l'un d'eux.

 

Remarque : Pour un autre exemple de nombre irrationnel à la règle et au compas, voir Construire le nombre d'or . En effet le nombre d'or est un nombre irrationnel constructible.

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29 mai 2011 7 29 /05 /mai /2011 12:00

Cet article a été déplacé ici

http://3.bp.blogspot.com/-Td7BRiX675E/VCVf1ZaqXMI/AAAAAAAAAB4/mgdTZv0ofMc/s1600/ent%25C3%25AAte2.png

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28 mai 2011 6 28 /05 /mai /2011 12:00

 

Les autres articles sur la base 4 sont accessibles à cette page.

 

Tables d'additions en base 4

 

+

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

10

2

2

3

10

11

3

3

10

11

12

 

 

Tables de multiplications en base 4

 

 

×

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

10

12

3

0

3

12

21

 

Nous pouvons sans problème réaliser des multiplications en utilisant ces tables, l'algorithme est le même qu'en base dix.

 

Exemple 1 12×31

En base 4 : 12 = six et 31 = treize

IMGP4145.JPG

On commence par sélectionner le chiffre le plus à droite de 31, c'est à dire 1, et à multiplier 1 par 12. C'est facile car dans toutes les bases, la multiplication par 1 ne fait rien.

Ensuite, on sélectionne le chiffre 3 et on multiplie 12 par 3 : on va balayer les chiffres de 12 de la gauche vers la droite

  • 2×3 = 12 -> on pose 2 et l'on retient 1

  • 1×3 = 3 -> on n'oublie pas d'ajouter la retenue : 3+1=10

  • On pose 10 car il n'y a plus de chiffre dans 12.

 

J'ai trouvé 1 032.

En base dix, cela fait :

(1 032)4 = 1×43 + 0×42 + 3×41+2×40 = 1×64+3×4+2×1=64+12+2=78.

 

C'est correct, c'est bien le produit de six × treize.


 

 

 

Exemple 2 132×3012 (au fait comment çà se lit sachant qu'on est en base 4 ? )

 

  • Sélection du chiffre le plus à droite de 3012 : c'est 2

  • sélection aussi du chiffre le plus à droite de 132 : c'est 2

2=10 -> je pose 0 et retiens 1

  • sélection du chiffre suivant à gauche dans 132 : c'est 3

2=12 -> j'ajoute la retenue : 12+1=13 -> je pose 3 et retiens 1

  • sélection du chiffre suivant à gauche dans 132 : c'est 1

2= 2 -> j'ajoute la retenue : 2+1= 3 -> je pose 3


IMGP4146.JPG  
  • Sélection du chiffre suivant à gauche dans de 3012 : c'est 1, pas de problème je recopie 132
  • Sélection du chiffre suivant à gauche dans de 3012 : c'est 0, pas de problème j'écris 000
  • Sélection du chiffre suivant à gauche dans de 3012 : c'est 3

 

 

  • sélection aussi du chiffre le plus à droite de 132 : c'est 2

3=12 -> je pose 2 et retiens 1

 

  • sélection du chiffre suivant à gauche dans 132 : c'est 3

3=21-> j'ajoute la retenue : 21+1=22 -> je pose 2 et retiens 2

 

  • sélection du chiffre suivant à gauche dans 132 : c'est 1

3= 3 -> j'ajoute la retenue : 3+1= 10-> je pose 10 car il n'y a plus de chiffre dans 132.


 

 

Après, il reste à faire l'addition sans se tromper.


Je laisse la vérification à l'internaute.

 

Remarque : Quelles sont les opérations faciles en base quatre ?

 

Par exemple la multiplication par quatre, c'est à dire par 10 : 132×10=1 320.

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27 mai 2011 5 27 /05 /mai /2011 12:00

Dans l'article Tous les solides de Platon (1) : Inégalité   on avait abouti au fait que les solides de Platon vérifiaient nécessairement l'inégalité :

 

4>(p-2)(q-2)


où p et q déterminent le solide en question, p étant le nombre d'arête par face et q le nombre de faces se rejoignant en un sommet. Comme une face comporte au moins trois côté p est au moins égal à 3. q est au moins égal à 3 car il s'agit d'un solide non plat.

 

De l'inégalité, on a p-2<2 ou q-2<2, d'où p<4 ou q<4. Sinon (p-2)(q-2) serait au moins égal à 4. Voici les premiers cas envisageables :

  • p=3 et
    •  q=3 : C'est le tétraèdre régulier {3,3}
    •  q=4 : C'est le cube {3,4}
    •  q=5 : C'est l'icosaèdre {3,5}
  • p=4 et  q=3 : C'est l'octaèdre {4,3}
  • p=5 et q=3 : C'est le dodécaèdre {5,3}

 

Voir Solides de Platon.

 

Il ne peut donc pas y avoir d'autres solides de Platon que ces 5 là ! 


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26 mai 2011 4 26 /05 /mai /2011 12:00

Je me rappelle de ce que m'avait raconté mon professeur de maths en 3è. Il s'agit d'un des 8 paradoxes de Zénon.

 

Zénon lance une pierre vers un arbre :

  • pour que la pierre atteigne l'arbre elle doite déjà atteindre la moitité du parcours (cela met un certain temps)
  • puis pour parcourir la moitié restante, elle doit arriver jusqu'à la moitié de la moitié restante, cela met un certain temps et il restera un quart du parcours;
  • pour le quart restant, la pierre doit arriver jusqu'à sa moitié, cela met un certain temps et il restera encore un huitième du parcours
  • pour le huitième restant, la pierre doit arriver jusqu'à sa moitié, cela met un certain temps et il restera encore un seizième du parcours
  • ...........

Comme on peut toujours diviser une longueur en deux, il y a donc une infinité d'étapes à franchir. Ainsi on peut se dire que la pierre n'atteindra jamais l'arbre puisque pour calculer le temps de parcours on doit ajouter une infinité de durées. C'est le paradoxe ! Vous avez essayer de lancer une pierre pour voir ?

 

 

A suivre....

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25 mai 2011 3 25 /05 /mai /2011 12:00

Théorème

 

Si on a un triangle, alors le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont alignés.

 

 

Centre de gravité 


Le centre de gravité est le point d'intersection des trois médianes d'un triangle. Les 3 médianes sont concourentes en ce point et deux suffisent pour le construire.

(Voir Centre de gravité d'un triangle)

 

medianes.png

 

 

Orthocentre

 

L'orthocentre d'un triangle est le point d'intersection des 3 hauteurs. 2 hauteurs suffisent à le construire.Voir Orthocentre d'un triangle.

 

hauteurs.png

 

Centre du cercle circonscrit

 

Le centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des 3 médiatrices (relativement aux côtés) d'un triangle. 2 médiatrices suffisent à sa construction.

(voir médiatrices et cercles circonscrit)

 

mediatrices.png

 

Remarque : Dans un triangle équilatéral ces trois points sont confondus. Lorsque le triangle n'est pas rectangle, ils sont distincts. La droite passant par ces trois points est appelée la droite d'Euler.

 

http://img861.imageshack.us/img861/9296/pointsalignes.png

 

Reste à démontrer que ces points sont en effet alignés...

 


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Présentation

  • : Maths Otak'
  • Maths Otak'
  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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