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13 juin 2011 1 13 /06 /juin /2011 12:00

On ne peut pas compter jusqu'à l'infini par définition même de l'infini : L'infini


Néanmoins, il est possible de savoir qu'un ensemble a une taille infini, sans compter ses éléments mais en les mettants en relation simultanément avec une infinité d'éléments. Pour pouvoir réaliser ceci, nous avons besoin de la notion de bijection.



Définition Une bijection entre deux ensembles est une application qui associe chaque élément d'un ensemble à un unique élément de l'autre.



Exemple 1: Voici deux ensembles :

  • Ens= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26}
  • Alphabet={A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z}

 

J'établis l'application f de Ens vers Alphabet comme suit : f(1)=A, f(2)=B,f(3)=C,........,f(26)=Z.

Chaque élément de Alphabet est l'image d'un élément de Ens, et cet élément est le seul. Par exemple, l'image de 4 est D, D a pour seul antécédent 4.


Ainsi, f est une bijection entre Ens et Alphabet.Comme il y a 26 éléments dans Ens, Alphabet en compte lui aussi 26. On dit que 26 est le cardinal de  Alphabet.

 

Pour un autre exemple de bijections entre des ensembles finis, voir par exemple Hasard entre 1 et 24

 

Exemple 2 : Voici deux ensembles

  • N = {0,1,2,3,4, .......} l'ensemble des nombres naturels
  • Pairs = {0,2,4,6,8,.....} l'ensemble des nombres pairs.

Je définis une application g de N vers Pairs en posant :

g(n)=2n

Par exemple g(45)=90.

L'application g est une bijection car :

  • chaque naturel pair est le double d'un naturel (aspect dit surjectif de la bijection)

  • un nombre ne peut pas être le double de deux nombres différents, comme on le voit en divisant par 2 (aspect dit injectif)



On peut ainsi en déduire que N et Pairs le même nombre d'éléments. Autrement dit, il y a autant de naturels pairs que de naturels. On peut dire aussi que puisque N est infini, qu'il y a une infinité de nombre pairs.

 

Les bijections permettent de compter d'un seul coup une infinité d'éléments en les associant à ceux d'un ensemble que l'on connaît.

 

Question : Y a-t-il plus grand que l'infini ?

 

Un début de réponse dans Ensemble dénombrable

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12 juin 2011 7 12 /06 /juin /2011 12:00

Cet article suit : Graphes : degré d'un sommet

 

 

Dans un graphe composé de N arêtes, on a la formule suivante, appelé lemme des poignées de mains :

Autrement formulé, cela signifie que dans un graphe, la somme des degrés est un nombre pair, plus précisément, c'est le double du nombre d'arêtes.

 

Conséquence.  La somme de degrés impairs d'un graphe est paire. Pourquoi ?

 

Réponse. Dans un graphe, il y deux sortes de sommets, ceux dont le degré est pair et ceux dont le degré est impair. On peut donc associer les degré pair et les degré impair pour faire la somme :

Une somme de nombres pairs est un nombre pair, en y ajoutant un nombre impair, on obtiendrait un nombre impair, donc la seconde somme du terme de droite est un nombre pair.

Fin de la PREUVE.

 

Pourquoi le lemme s'appelle-t-il lemme des poignées de mains ?

 

Considérons le graphe comme décrivant les relations entre les personnes d'un groupe. On peut imaginer que chaque sommet du graphe est une personne et que si cette personne connait une autre personne, elle lui sert à main, autrement dit, qu'il y a une arête entre-elles. Le degré d'une personne est le nombre de connaissances qu'elle a dans le groupe.

 

Voici la reformulation du lemme et de la conséquence:

  1. Lemme : Dans un groupe de personnes, si l'on fait la somme des personnes connues par chaque individu, on obtient le double du nombre de connaissances au sein du groupe.

  2. Conséquence : Dans un groupe de personnes, si les personnes connaissant un nombre impair d'individus font la somme des personnes qu'elles connaissent, alors le total obtenu est un nombre pair.

 

 

Sur Facebook, si je demande à mes amis de me dire combien ils ont d'amis communs avec moi, et que je fais la somme des réponses obtenues, alors le résultat sera pair. Il sera le double du nombre de relations d'amitié Facebook existant parmi mes amis, moi exclus.

 

Suite : Lemme des poignées de main : conséquence

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11 juin 2011 6 11 /06 /juin /2011 12:00

 

Combien y a-t-il de nombres premiers ? Disons qu'il y en a beaucoup, comme nous avons déjà pu le constater et appelons P le plus grand d'entre eux. Il n'y a plus de nombre premier après P.

 

J'appelle A= 1×2×3×4.........×(P-1)×P, le produit de tous les entiers naturels non-nuls plus petits que P. Ce nombre est plus grand que P, il bien plus que son double. J'appelle ensuite B=A+1= 1×2×3×4.........×(P-1)×P+1, c'est l'entier qui lui succède.

 

Je vais montrer que B est un nombre premier. Autrement dit, je vais expliquer pourquoi aucun nombre ne peut le diviser à part 1 et lui-même. Imaginons, qu'il existe un tel nombre d qui divise B, on a B=qd (q étant naturel) :

  • Cas 1 : si d est plus petit que P, alors il divise A également, on a A=rd (r étant naturel), ainsi B-A=qd-rd=(q-r)d, mais B-A=1, donc d=1. Et B est premier. Hein ?

  • Cas 2 : Si d est plus grand que P, d n'est pas premier car P est le plus grand des premiers, donc d est divisible par un entier d' que l'on peut choisir plus petit que P. (Pourquoi?). Le nombre d' est un diviseur de B qui nous ramène au cas 1. Ainsi B est premier.

 

Dans tous les cas, B est premier, j'avais donc menti en prétendant que P était le plus grand des premiers. En procédant de la sorte, on voit que les nombres premiers peuvent être aussi grands que l'on veut. Il y en a donc une infinité.

FIN de la PREUVE.

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10 juin 2011 5 10 /06 /juin /2011 12:00

« Dans combien de jours vas-tu à la mer ?

-Dans 5 jours.

-Comme nous sommes mercredi, tu y vas .... [Réfléchissant tout haut, en comptant sur ses doigts] Jeudi, Vendredi, Samedi, Dimanche, Lundi

-C'est çà ! »

 

Une semaine est composée de 7 jours. Ces jours sont Lundi, Mardi, Mercredi, Mercredi, Jeudi, Vendredi, Samedi et Dimanche. Après le dimanche, on revient au Lundi et on recomence. Ci-dessous voici le déroulement circulaire des jours de la semaine :

 

semaine.png

On peut noter les jours avec des nombres :

 

 

Lundi

Mardi

Mercredi

Jeudi

Vendredi

Samedi

Dimanche

0

1

2

3

4

5

6

 

Ainsi 5 jours après mercredi c'est 2+5=7 mais 7 n'apparaît pas dans le tableau, il s'agit pourtant du jour Lundi. Donc on peut noter 7=0 car lundi c'est lundi.

 

De même 8=1, 9=2, 10=3, 11=4, 12=5, 13=6, 14=0, 15=1 etc.....

 

Les symbole 0,1,2,3,4,5,6,7... ne sont pas utilisés comme des nombres entiers mais des entiers modulo 7. On peut aussi dire que les égalités du type 8=1 ou 14=0 sont des congruences modulo 7.

 

Question :

Quel jour de la semaine est le 145è jour de l'année, si le 1er janvier est un lundi ?

 

La réponse :  Congruences du quotidien (2)

 

 

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9 juin 2011 4 09 /06 /juin /2011 12:00

Le contenu de cette page a été déplacé ici

 

http://3.bp.blogspot.com/-Td7BRiX675E/VCVf1ZaqXMI/AAAAAAAAAB4/mgdTZv0ofMc/s1600/ent%25C3%25AAte2.png 

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8 juin 2011 3 08 /06 /juin /2011 22:00

Cet article suit :

  1. Doctor Who : 42 
  2. Doctor Who : 42 (2) 

Je vais vérifier que les nombres 313, 331, 367 sont bien des nombres  heureux.

 

313 :

-> 3²+1²+3²=9+1+9=19
-> 1²+9²=1+81=82
->8²+2²=64+4=68

->6²+8²=36+64=100

->1²+0²+0²=1

 

Donc 313 est bien un nombre heureux.

 

331 :  C'est un nombre heureux car ses chiffres sont les mêmes que 313.

 

367 :

-> 3²+6²+7²=9+36+49+94

-> 9²+4²=81+16+97

-> 9²+7²=81+49 =130

-> 1²+3²+0²=1+9=10

->  1²+0²=1

 

Donc 367 est bien un nombre heureux

 

Ensuite, il est plus long de vérifier que ces nombres sont premiers.

 

J'ai envie de le faire le plus simplement possible avec le moins de calcul possible.

 

 Pour vérifier qu'un nombre naturel est premier, il suffit de vérifier que les naturels plus grand que 2 qui lui sont inférieurs ne sont pas des diviseurs. Inutile de tester les nombres pair. De plus inutile d'aller plus loin que :

  • 17 pour 313
  • 18 pour 331
  • 19 pour 367

Soit 8+8+9 = 25 calculs maximum. Pourquoi ?

 

A suivre....

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7 juin 2011 2 07 /06 /juin /2011 12:00

Cet article a été déplacé ici

http://3.bp.blogspot.com/-Td7BRiX675E/VCVf1ZaqXMI/AAAAAAAAAB4/mgdTZv0ofMc/s1600/ent%25C3%25AAte2.png

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6 juin 2011 1 06 /06 /juin /2011 12:00

Si a et b sont des nombres entiers naturels, il existe des nombres entiers naturels q et r tels que :

a=bq+q, avec q<b

Ces nombres q et r sont uniques. q est appelé le quotient et r le reste de la division eulcidienne de a par b.

 

Ainsi la division euclidienne ne dépends pas de la base. En base 4, elle est possible, l'algorithme est le même qu'en base 10, si ce n'est que les opérations s'effectuent en base 4.

 

On pourra s'aider de Tables d'additions, de multiplications et multiplications en base 4  pour avoir sous les yeux les tables de multiplications en base 4.

 

Exemple 1  Division de 132 par 11 (ces nombres sont écrits en base 4)

 

div1-copie-1.png

13 > 11 donc on sélectionne les deux premiers chiffres de 132. On trace une trait bleu.

 

1×11=11

2×11=22 > 13

 

Donc on note 1 dans la case du quotient à gauche.

13-11=2, on écrit 2 dans la case dividende/reste à gauche du trait bleu, et on abaisse le 2 de 132.

 

Comme 2×11=22, le reste est zéro.

 

 

 

 

Le quotient est 12 et le reste 0.


 

Exemple 2 Division de 2021 par 31

 

div2.png

 20<31 et 202>31 donc je fais un trait bleu vertical juste avant le chiffre 1 de 2021.

 

 

2×31=122

3×31=213 > 202

 

Donc on note 2 dans la case quotient à gauche.

 

202-122=20, on l'écrit sous 202. Puis on abaisse le dernier chiffre du dividende.

 

2×31=122

3×31=213 > 201

 

Donc on note 2 dans la case quotient à gauche.

 

201-122=13, on l'écrit sous 201. C'est le reste de la division euclidienne.

 

Le quotient est 22 et le reste est 13.

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5 juin 2011 7 05 /06 /juin /2011 12:00

Pour voir les quelques articles sur les graphes : ici

 

Définition. On appelle le degré d'un sommet d'un graphe, le nombre d'arêtes (à deux extrémités) ayant ce sommet pour extremité. 

 

Dans cet article, on supposera que les arêtes ne joignent pas un sommet à lui-même. C'est pour cette raison que dans la définition, les arêtes ont deux extrémités.

 

Pour un sommet V, on note δ(V) le degré de V. (la lettre grec δ se lit delta ; la lettre V est parfois utilisée car en anglais vertex signifie sommet).

 

Exemples :


IMGP4002

 Dans ce graphe Γ1:

δ(G)=4

δ(H)=4

δ(I)=3

δ(J)=4

δ(K)=3

 

 IMGP4010  Dans ce graphe Γ2:

δ(A)=1

δ(C)=2

δ(B)=1

δ(D)=2

δ(E)=2

 

 

Dans le graphe Γ1 :



δ(G)+δ(H)+δ(I)+δ(J)+δ(K)=4+4+3+4+3=18, c'est un nombre pair.

Dans le graphe Γ2 :

δ(A)+δ(B)+δ(C)+δ(D)+δ(E)=1+2+1+2+2=8, c'est un nombre pair.

Dans un graphe, la somme des degré est un nombre pair, plus précisément, c'est le double du nombre d'arêtes. On obtient le Handshaking-Lemma (le lemme des poignées de mains) :

Propriété. Dans un graphe composé de N arêtes, on a la formule suivante :

Démonstration. Chaque arête a 2 extrémités. Chacune de ces extrémités donne 1 au degré du sommet qui est cette extrémité. Ainsi pour chaque arête, on ajoute 2 (1 pour chaque sommet). Donc la somme des degré est le double du nombre d'arêtes.

Fin de la preuve.

Si vous n'êtes pas convaincus par cette preuve, l'utilisation de la propriété de récurrence sur le nombre d'arête N, vous permettra de construire une meilleure démonstration.

Conséquence : La somme de degrés impairs d'un graphe est paire. Pourquoi ?

A suivre ....

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4 juin 2011 6 04 /06 /juin /2011 12:00

A quoi servent les nombres premiers ? Dans un premier temps, je dirai qu'ils servent à fabriquer tous les nombres entiers. En effet, tout les nombres entiers positifs sont produits de nombres premiers.

 

Exemple

 

Le nombre 525 est divisible par 5 car 525=5×105. 105 est divisible par 5 aussi : 105=5×21. 21 est un multiple de 3 : 21=3×7. On peut donc écrire :

525=5×105=5×5×21=5×5×7×3

Les nombres 5, 7 et 3 sont des nombres premiers.

 

Propriété

 

Si un nombre est entier naturel au moins égal à 2, alors il est produit de nombres premiers.

 

Un tel produit est appelé décomposition en facteurs premiers.

 

Remarques :

  • Dans cette propriété, je ne dis pas que la décomposition est la seule possible, déjà
    525= 5×5×7×3=5×7×3×5=7×3×5×5=3×5×7×5=......
    comme on le voit en changeant l'ordre des facteurs (celui-ci n'ayant pas d'importance pour un produit, on dit que les facteurs sont commutatifs).
  • Par contre, les facteurs qui interiennent, dans l'exemple : 5 (à 2 reprises), 3 et 7 sont les seuls ; cette propriété sera vue un autre jour. C'est ce que l'on appelle l'unicité de la décomposition en factueur premiers (à l'ordre des facteurs près).
  • Le nombre 1 n'est pas premier et sa seule décomposotion est 1=1. Pour inclure 1 dans la propriété, je préfère dire que le produit de zéro facteur est 1. Ainsi 1 est le produit de zéro facteur premier.
  • Les nombres premiers sont les produits d'un seul facteur premier : eux-même !

Démonstration dialoguée.

 

«Je suis sûr que cette propriété c'est n'importe quoi !

-C'est à dire ?

-Ben, que, je suis sûr qu'en cherchant bien, on peut trouver au moins un nombre entier qui ne peut pas se décomposer en nombres premiers

-Ah ? Tu crois qu'il y en a combien des nombres comme çà ?

-Je ne sais pas, si çà se trouve il y en a une infinité ...

-Peut-être ... Disons que tu as raison, quel est le premier de ces nombres indécomposables en facteurs premiers ?

-Le premier ? Tu veux dire le plus petit, c'est çà ?

-Oui le plus petit, le premier en commençant de 1, il y en a forcément un.

-Je ne sais pas ... on a qu'à l'appeler n .

-D'accord. Tu crois que çà peut être un nombre premier ton nombre n ?

-Euh ... Non ! C'est impossible parce que sinon, ce serait le produit de un nombre premier : lui-même !

-Yep, c'est vrai, donc comme il n'est pas premier il est divisible par au moins deux nombres plus petits que lui

-Forcément !

-Mais c'est bizarre, parce que les deux nombres plus petits qui le divisent eux, ils sont décomposables en facteurs premiers, tu vois !

-Pourquoi ?

-Parce que n est le plus petit nombre indécomposable en facteurs premiers et que les 2 facteurs en questions sont plus petits que lui ...

-Ok ... Mais pourquoi c'est bizarre ?

-Parce que ces deux nombres là, si les décompose et que fais le produit des facteurs premiers réunis, je retrouve le nombre de départ, c'est çà qui est chelou. 

-T'es pas obligé de dire chelou, j'ai compris tu sais, çà veut dire que çà contredit ce que je pensais au départ, je m'étais trompé c'est tout. En fait tous les nombres entiers naturels sont décomposables en facteurs premiers.

-Voilàà, c'est çà ! Chanmééé

-C'est bon Socrate, n'en fais pas trop quand même ...»

 

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  • Maths Otak'
  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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