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23 juin 2011 4 23 /06 /juin /2011 13:10

Dans un groupe de 6 personnes :

  • il y a au moins 3 personnes qui se connaissent toutes
  • ou il y a au moins 3 personnes étrangères les unes pour les autres.

Pourquoi ?

 

Solution :

Je me promène dans mon quartier et je rencontre au cours de ma ballade 5 personnes :

"- Bonjour, voudriez-vous participer à une expérience combinatoire ?

- Euh ...

- Rendez-vous sur la place à 16H00"

 

16H00, sur la place. Cinq personnes se tiennent devant moi, nous sommes 6. Je  sépare mes cobayes en deux groupes :

  1. Le groupe des personnes que je connais
  2. Le groupe des personnes que je ne connais pas

En fait j'ai fait cette expérience 2 fois. Je vais vous raconter la première pour commencer.

 

Le groupe deux contient plus de personnes que le groupe 1, je ne suis pas très connu ! Il y a au moins 3 personnes dans ce groupe. Comment vous appelez-vous dis-je à 3 personnes ?

"-Rory

-Amy

-Le Docteur"

Je leur demande s'ils se connaissent entre eux ? Ils me répondent que oui ! Voilà 3 personnes qui se connaissent mutuellement : Rory connaît Amy, Amy connaît le Docteur, le Docteur connait Rory. Mon expérience est finie.

 

La deuxième fois, je rassemble les 5 personnes sur la place à 16h à nouveau. Encore une fois, il y plus de personnes que je ne connais pas que de personnes que je connais. Je demande le nom de 3 personnes que je ne connais pas : Luffy, Zorro et Nami. "Qui connais-qui ?" je leur demande ? Luffy connaît Zorro mais il ne connaît pas encore Nami, Zorro non plus ne connaît pas Nami. Nous sommes trois personnes qui ne nous connaissons pas :

  • Je ne connais ni Luffy, ni Nami
  • Nami ne connaît ni Luffy ni moi
  • Luffy ne connaît ni Luffy ni moi

Mon expérience est finie.

 

Je suis maintenant sur que si je rencontre 5 personnes, il me suffit de ne pas en connaître 3 pour qu'il y ait parmi nous au moins 3 personnes qui se connaissent mutuellement ou 3 personnes mutuellement étrangères.

Et si, maintenant que je connais plus de monde, en refaisant l'expérience il y a au plus personnes ne me connaissant pas ? ... Eh bien, on aboutirait au même résultat, pourquoi ?

 

A suivre ....

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22 juin 2011 3 22 /06 /juin /2011 12:00

A est le milieu de [DE], B est le milieu de [AH], C est le milieu de [BG], D est le milieu de [CF].

 

On sait que l'aire de ABCD   est 12 cm². Quelle est l'aire de EFGH   ?

 

 

olymp1.png

D'après les Olympiades de mathématiques de l'académie de Versailles, exemples d'exercice 2006 : lien ici.

 

Solution ici

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21 juin 2011 2 21 /06 /juin /2011 12:00

Cet article suit Comment compter jusqu'à l'infini ?

 

Un ensemble infini peut être mis en bijection avec l'ensemble N des entiers naturels (voir ici). Dans ce cas on dit que cet ensemble est dénombrable.

 

On peut dénombrer ses éléments, c'est à dire leur donner un numéro. Je donne des exemples ci-dessous :

 

Exemple 1 : Les nombres pairs

 

L'ensemble des nombres pairs Pair que je noterai aussi 2N est dénombrable, en effet on peut dénombrer ses éléments :

0,2,4,6,8,10,12, .........., etc.

Le nombre 0 porte le numéro 0

Le nombre 2 porte le numéro 1

.......

Le nombre 12 porte le numéro 6

.......

Plus généralement, le nombre 2n porte le numéro n

 

Exemple 2 : Les nombres relatifs

 

L'ensemble des nombres relatifs, noté Z est lui ausi en bijection avec l'ensemble N : ses éléments sont

.......-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,......

Pour établir une bijection, l'idée est de prendre un nombre à droite de 0 puis un nombre à guche de 0 et re recommencer en s'éloignant de 0 de plus en plus.

 

Le nombre 0 porte le numéro 0

Le nombre 1 porte le numéro 1

Le nombre -1 porte le numéro 2

Le nombre 2 porte le numéro 3

Le nombre -2 porte le numéro 4

Le nombre 3 porte le numéro 5

Le nombre -3 porte le numéro 6

............ et ainsi de suite

Le nombre n (si n positif) porte le numéro 2n-1

Le nombre -m (si -m est négatif) porte le numéro 2m

 

La bijection peut-être définie rigoureusement comme suit :

f : N -----> Z est la fonction définie par

f(0)=0  
f(x)=(x+1)/2 si x est impair
f(x)=-x/2 si x est pair

 

 Je vérifie que f est une bijection : 

  • injectivité :
    • Si x est différent de 0, (x+1)/2 et -x/2 sont diférents de 0.
    • sinon si x est pair f(x) est positif, et si x est impair f(x) est négatif. Donc les seules possibilités pour f(x1) d'être égal à f(x2) est pour x1 et x2 pairs ou pour x1 et x2 impairs.
    • Si x1 et x2 sont pairs et que (x1+1)/2 = (x2+1)/2, alors on a  x1+1  =  x2+1 puis x1 =  x2
    • Si x1 et x2 sont impairs et que -x1/2= -x2/2, on a aussi  x1 =  x2.

f est donc injective, pour un nombre de Z il y a au maximum un antécédent dans N. Si f est injective, on dit que c'est une injection.

  • surjectivité : Prenons un élément de Z nommé y :
    • Si y est 0, 0 est l'image de 0 car f(0)=0
    • Si y est positif, je choisis x=2y-1. f(x)=(x+1)/2=(2y-1+1)/2=2y/2=y, donc y possède un antécédent.
    • Si y est négatif, je choisis x=-2y. f(x)=-x/2=-(-2y)/2=y, donc x est un antécédent de y.

f est donc surjective, pour tout nombre de Z il y a au moins un antécédent dans N. Si f est surjective, on dit que c'est une surjection.

 

f est une application bijective, c'est une bijection (injection+surjection).

 

Ainsi, on voit qu'il y a autant d'éléments dans Z et dans N. A première vue, il semblait pourtant qu'il y avait deux fois plus d'éléments dans Z que dans N.

 

Exemple 3 : Les nombres rationnels

 

L'ensemble Q possède beaucoup d'éléments, en effet entre deux entiers, on peut toujours placer un nombre rationnel (pourquoi ?). De plus, entre deux rationnels, on peut placer une infinité de rationnels entre deux nombres, aussi près soient-ils (pourquoi ?) ? Cet ensemble semble être partout, est-il dénombrable ? 

 

A suivre dans Q est dénombrable

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20 juin 2011 1 20 /06 /juin /2011 12:00

Cliquer sur l'image ci-dessous pour accéder au site du jeu :

 

symapix_4.png

 

J'ai découvert ce puzzle game grâce à l'émission Ecran.fr, le podcast diffusée aussi sur  l'excellente chaîne  Nolife. Voir l'article de Camille Gévaudan.


 

symapix_1.png Chaque puzzle consiste en une grille contenant des points à divers endroits.
Le but est de faire apparaître une image cachée en dessinant un bloc autour de chaque point de sorte que la forme du bloc soit symétrique par rapport à ce point.
La couleur du bloc correspond à la couleur du point.
Il ne peut pas y avoir d'autre point à l'intérieur de la forme.
Aucun carré ne soit laissé à la fin de la solution

 

Ce jeu permet de travailler autour de la symétrie centrale, donc c'est accessible dès la cinquième.

 

symapix 3

 

Autres articles en lien avec les jeux vidéos : sur cette page.


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19 juin 2011 7 19 /06 /juin /2011 12:00

Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur.

 

Exemple 1 :

Pour trouver le PGCD de 15 et 40, il faut trouver le plus grand des diviseurs que ces nombres ont en commun.

Les diviseurs naturels de 15 sont : 1,3,5,15

Les diviseurs naturels de 40 sont : 1,2,4,5,8,10,20,40

1 et 5 sont les seuls diviseurs communs de 15 et 40. Le PGCD de 15 et 17 est 5, on note PGCD(15,40)=5.

 

 

Exemple 2 :

Trouver le PGCD de 70 et 30 :

Les diviseurs naturels de 70 sont : 1,2,5,7,10,14,35,70

Les diviseurs naturels de 30 sont : 1,2,3,5,6,10,15,30.

1,2,5,10 sont les diviseurs communs de 70 et 30 donc PGCD(30,70)=10.

 

Remarque : Il y a plusieurs façons de déterminer le PGCD de deux nombres, différents articles leurs seront consacrées.

 

Exemple 3 :

Trouver le PGCD de 15 et 17 :

Les diviseurs naturels de 15  : 1,3,5,15

Les diviseurs naturels de 17 : 1,17

Donc PGCD(15,17)=1.

 

Lorsque PGCD(a,b)=1, on dit que les nombres a et b sont premiers entre eux. On dit aussi que a est premier à b ou que b est premier à a.

 

Par exemple, 15 et 17 sont premiers entre eux.

 

Propriété. Si un nombre est premier, alors il est premier à tous les entiers qui n'en sont pas des multiples.

 

En effet les seuls diviseurs naturels d'un nombre premier sont 1 et lui même. Les seuls PGCD possibles sont donc 1 ou le nombre premier si l'autre nombre en est un multiple.

 

Propriété. Si deux nombres distincts sont premiers, alors ils sont premiers entre eux. (Pourquoi ?)

 

D'autres méthodes et des applications, à suivre :  Algorithme d'Euclide

 

 

 

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18 juin 2011 6 18 /06 /juin /2011 12:00

Cet article suit Congruences du quotidien

 

Question :

 

Quel jour de la semaine est le 145è jour de l'année, si le 1er janvier est un lundi ?

 

Réponse.semaine

Je commence par chercher le nombre de semaines écoulées au bout de 145 jours. Il faut effectuer une division euclidienne de 145 par 7 : 

145 = 20 × + 5

Comme dans l'article précedent,  je numérote les jours de la semaine de 0 à 7. Attention le premier jour de l'année est le jour de la semaine N° 0 de la semaine, le lundi.  


Au bout de 20 semaine, nous sommes aussi le jour N°0, on a fait 20 fois le tour du cerlce ci-contre. 

Dans la division euclidienne le reste est 5, donc le 145è jour est un samedi.

 

Pour trouver le jour de la semaine correspondant au 145è jour, seul le reste de la division euclienne de 145 par 7 a été utile. Ce nombre 5 est dit congru à 145 modulo 7.

 

Les entiers modulo 7

Modulo 7, nous venons de voir que 145 = 5. Les autres entiers modulo 7 sont égaux aux restes des divisions euclidienne de l'entier par 7. Ainsi, on obtient toujours un entier compris entre 0 et 6.

Par exemple : Modulo 7 nous avons

14 = 0 car 14 =  2 × 7

20 = 6 car 20 = 2 × 7 + 6

22 = 1 car 22 = 3 × 7 + 1

148 = 1 car 148 = 20 × + 5 + 3 = 21 × + 1

 

Les entiers modulo 7 sont  notés 0,1,2,3,4,5,6 mais dans les égalités et les opérations, ils n'ont pas la même signification que les entiers 0,1,2,3,4,5,6.

 

Prochaînement, les opérations modulo 7

 

A suivre ...

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17 juin 2011 5 17 /06 /juin /2011 12:00

Hier, un ami prof de maths m'a fait découvrir Richard Wiseman, psychologue, magicien (et forcément mathématicien).

 

Ci-dessous une vidéo conernant un tour de magie avec des cartes, regardez attentivement même si vous ne comprenez pas bien l'anglais.

 

 

Richard Wiseman tiend un blog dont voici l'adresse : http://richardwiseman.wordpress.com/

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16 juin 2011 4 16 /06 /juin /2011 12:00

  Le contenu de cette page a été déplacé ici

 

http://3.bp.blogspot.com/-Td7BRiX675E/VCVf1ZaqXMI/AAAAAAAAAB4/mgdTZv0ofMc/s1600/ent%25C3%25AAte2.png

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15 juin 2011 3 15 /06 /juin /2011 12:00

Dans un groupe de 6 personnes :

  • il y a au moins 3 personnes qui se connaissent toutes
  • ou il y a au moins 3 personnes étrangères les unes pour les autres.

Pourquoi ?

 

Solution

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14 juin 2011 2 14 /06 /juin /2011 12:00

Voir aussi cette page : Articles concernant la base 4

 

En base dix, la fraction 1/10 peut s'écrire comme un nombre à virgule :

En base quatre, on a la même chose

La diférence est qu'il faut lire l'égalité : "un quart=0,1" et non plus "un dixième=0,1 ".

Cela fait une grande différence et il est important de savoir si l'on est pas en base dix.

 

Voici les autres fractions qui servent à écrire les nombres à virgules :

 

 

En base dix, voici un exemple :

 

 

On peut essayer de voir ce que donne le nombre écrit avec les mêmes chiffres en base quatre avec des virgules :

 

Remarque : Quand le contexte n'est pas clair l'indice 4 permet de savoir dans quelle base le nombre est écrit. Ici l'écriture en base 4 et en base dix apparaissent dans le même ligne, il vallait mieux le signaler.

 

En base dix, le nombre 0,99999........ est égal à  1 (pourquoi ?). En base 4, On peut écrire

Quel nombre représente-t-il ?

 

Réponse dans  0,33333..... en base quatre

 

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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