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5 juillet 2011 2 05 /07 /juillet /2011 12:00

Cet article suit :

Dans cet article je montre que l'ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable.

 

Pour cela il faut établir une bijection entre N et Q :

f:N--->Q

f(1), f(2), f(3), ...... doivent être tous les nombres de Q.

 

Je commence par une bijection entre N et Q+ , Q+ désignant l'ensemble des nombres rationnels positifs.

Un nombre rationnel positif est une fraction avec un nombre entier positif et un nombre entier positif non nul au dénominateur. Voici quelques exemples d'éléments de Q+ :

 

On peut ranger toutes les fractions dans un tableau infini :

Tous les nombres rationnels positifs sont dans ce tableau. Par exemple le nombre

se trouve dans la colonne 135 et dans la ligne 2 678 987.

On peut donc faire la liste de toutes les fractions de la manière suivante :

  1. On commence par la fraction en haut à gauche (on coche la case)
  2. On se place dans la première colonne à la première ligne non cochée. On remonte en diagonale vers le haut et vers la droite jusqu'à arriver jusqu'à la première ligne du tableau en cochant les cases traversées au fur et à mesure.
  3. On répète l'étape 2.

Ainsi, on peut faire la liste de toutes les fractions :

Parmi elles, certaines sont égales comme 0/1=0/2=0/3=........=0 ou 1/1=2/2=3/3, on élimine au fur et à mesure les fractions qui sont égales à une fraction déjà listée : 

On a donc une bijection g de N vers Q+

Même si l'on ne dispose pas de formule pour cette fonction, il s'avère que la manière par laquelle elle est construite en fait une fonction surjective (tous les rationnels sont dans le tableau) et injective (on a éliminé les "doublons"). La fonction g est donc bijective.

 

On peut maintenant construire la bijection f entre N et Q en alternant les éléments de Q+ et leur opposés comme suit :

On a donc une bijection entre N et Q+ . 

 

A suivre ...

 

 

 

 

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4 juillet 2011 1 04 /07 /juillet /2011 12:00

Le contenu de cette page a été déplacé ici

 

http://3.bp.blogspot.com/-Td7BRiX675E/VCVf1ZaqXMI/AAAAAAAAAB4/mgdTZv0ofMc/s1600/ent%25C3%25AAte2.png

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2 juillet 2011 6 02 /07 /juillet /2011 11:00

Le problème ci-dessous a été publié en 1661 et en 1684 par Isomura Yoshinori (1630-1710) dans Sanpô Ketsu Gisho (mathématiques profondes). Isomura était un samurai du clan Nihonmatsu dans la préfecture de Fukushima.

 

Références. Fukagawa Hidetoshi, Tony Rothman, Sacred mathematics, Japanese Temple Geometry (Priceton University Press, 2008).

 

Problème.

  1. Trouver le volume d'un tétraèdre régulier
    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif?uselang=fr
  2. Etant donné un triangle équilatéral de côté 1 comme dans la figure ci-dessous, tracer trois droites vers le centre de gravité, construire trois triangles égaux et leur cercles inscrits. Montrer que le diamètre des cercles est 0,26794.
    jap1_qu1.png
  3. Etant donné un pentagone régulier de côté 1 comme dans la figure ci-dessous, tracer 5 triangles et 5 cercles inscrits. Montrer que le diamètre est 0,50952.
    http://img11.imageshack.us/img11/3519/jap1qu2.png
    Les réponses plus tard....
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1 juillet 2011 5 01 /07 /juillet /2011 10:00

Cet article répond à la question 2 posée dans Jeu de dés, à savoir 

 

Vous disposez des 2 dés ci-dessous :

dé cube  dé tétra
 Dé cubique à 6 faces
 Dé tétraèdrique à 4 faces

 

Trouvez un un moyen d'obtenir un nombre entier compris entre 1 et 24, au hasard. On doit avoir la même chance d'obtenir chaque nombre.

 

Solution.

 

On peut proposer la méthode suivante :

  • on lance le dé à 6 faces
  • on lance le dé à 4 faces

On suppose évidemment que les dés sont équilibrés. Ainsi pour le dé 6, chaque numéro a la probabilité d'apparaître de 1/6. Ensuite on lance le dé 4, chaque numéro a la probabilité d'apparaître de 1/4.

 

Au total il y a bien 24 couples (6 ×4) que l'on peut obtenir, chaque couple ayant la même probabilité 1/24. Ces couples sont :

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)

(2,1),..................,(2,4)

(3,1),..................,(3,4)

....................................

(6,1),..................,(6,4)

 

 

IMGP4269.JPG

 

On peut les ranger dans l'ordre lexicographique pour que chacun corresponde à un entier compris entre 1 et 24 :

(1,1) 1

(1,2) 2

(1,3) 3

(1,4) →4

(2,1) → 5

...............

(6,3) → 23

(6,4) → 24

 

Remarque : pour faire correspondre les couples aux nombres entre 1 et 24, on a établit une bijection entre les couples et les enteirs de 1 à 24. Pour en savoir un peu plus sur les bijections : Comment compter jusqu'à l'infini ?

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29 juin 2011 3 29 /06 /juin /2011 12:00

A est le milieu de [DE], B est le milieu de [AH], C est le milieu de [BG], D est le milieu de [CF].

 

On sait que l'aire de ABC est 12 cm². Quelle est l'aire de EFGH  ?

 

croissance_poly1.png

Solution

1) Le triangle EAH : Le triangle EAH est composé des deux triangles AEB et BEH. Je commence par le triangle AEB.

croissance_poly2.png

Comme A est le milieu de [ED], AE=DA, donc l'aire du triangle AEB est la même que celle du triangle BDA. En effet, La hauteur issue de B dans le triangle EBD et la hauteur issue de B dans le triangle ABD ne sont qu'une seule et même hauteur (en vert sur la figure), puisqu'elle passe par B est est perpendiculaire à [DE]. Cette aire vaut AE×BI/2=DA×BI/2.
B étant le milieu de [AH], on montre de la même manière que AEB et BEH sont des triangles de même aire.

Donc

Aire(AEH)=Aire(AEB)+Aire(EBH)=2×Aire(AEB)=2×Aire(ABD)

2) Les triangles BHG, CGF et FDE : En utilisant le même raisonnement, on trouve que

Aire(BHG)=2×Aire(ABC)

Aire(FCG)=2×Aire(DBC)

Aire(FDE)=2×Aire(ACD)

3) Assemblage

Aire(EFGH)= Aire(AEH)+Aire(BHG)+Aire(FCG)+Aire(FDE)+Aire(ABCD)

soit

Aire(EFGH)= 2×Aire(ABD)+2×Aire(ABC)+2×Aire(DBC)+2×Aire(ACD)+Aire(ABCD)

On peut regrouper les termes de la somme comme ci-dessous :

Aire(EFGH)=[2×Aire(ABD)+2×Aire(DBC)]+[2×Aire(ACD)+2×Aire(ABC)]+Aire(ABCD)

d'où

Aire(EFGH)=[2×(Aire(ABD)+ Aire(DBC))]+[2×(Aire(ACD)+ Aire(ABC))] +Aire(ABCD)

Or Aire(ABD)+ Aire(DBC) = Aire (ABCD) (pourquoi ?) et Aire(ACD)+ Aire(ABC) = Aire (ABCD) (pourquoi ?)

Donc

Aire(EFGH)=[2×Aire (ABCD)]+[2×Aire (ABCD)]+Aire(ABCD)=5×Aire (ABCD)

L'aire du grand quadrilatère est donc 4×12=60 cm².

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28 juin 2011 2 28 /06 /juin /2011 12:00

Dans Pourquoi 0,9999.... est égal à 1 ? , nous vîmes que 0,9999..... (infinité de chiffres 9) écrit en base dix était égal à 1.

 

En base 10, les chiffres dans l'ordres sont 0,1,2,3,.....,8,9

En base 4, les chiffres sont 0,1,2,3

 

Le nombre (0,33333.......)4 est-il égal à 1 ? [l'indice 4 indique que l'écriture est en base 4].

 

Je vais appliquer le même raisonnement que dans la fin de l'article cité précédemment :

Je note a=0,33333.......

Alors (10)4a=3,3333....... (voir la remarque fin de  Tables d'additions, de multiplications et multiplications en base 4  )

Ainsi  (10)4a- a = 3, c'est à dire 3a=3 d'où l'on déduit a=1.

 

Ce genre de résultat se généralise simplement à toutes les baes

 

Propriété. Si β est un entier au moins égal à 2, alors  (0,αααααααααααα...........)β=1, où  α=β-1 est le dernier chiffre utilisé en base β.

 

Preuve.

 

Je note a=(0,αααααααααααα...........)β

Alors (10)βa=(α,αααααααααααα...........)β donc (10)βa-a=αa=α d'où a=1.

FIN DE LA PREUVE.

 

Sommes infinies

 

  • En base 10, l'égalité 0,9999.......=1 s'écrit aussi

que l'on peut encore noter

  • De même le résultat prouvé plus haut en base 4 donne

Ce sont des sommes avec une infinité de termes. Nous en utilisons en fait à chaque fois que nous faisons des divisions avec un développement décimal infini comme dans 0,333..... ou 0,999.... Cependant une explication rigoureuse devrait justifier de telles écritures (peut-être plus tard sur ce blog...).

 

 

Mais au fait pourquoi la pierre finit-elle par atteindre l'arbre ? Voir Un paradoxe de Zénon

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27 juin 2011 1 27 /06 /juin /2011 12:00

 

Dans cet article je donne la méthode la plus connue pour trouver le PGCD de deux entiers : l'algorithme d'Euclide.

 

Nous disposons de deux nombres a et b. On peut choisir les lettres de sorte que a soit le plus grand des deux.

Si j'effectue la division euclidienne de a par b, alors j'obtiens deux nombres uniques qet r comme ci-dessous :

a=bq+r, où 0r<b

 

r est le reste de la division euclidienne etq le quotient.

 

Propriété. Sir est le reste de la division euclidienne de a par b, alors PGCD(a,b)=PGCD(b,r).

 

La preuve : Soit D=PGCD(a,b). Ddivise aet bdonc a=Da'et b=Db'. Ainsi a=bq+r donneDa'=Db'q+r d'oùr=Da'-Db'q=D(a'-b'q). Donc Ddivise aussi r.

SoitE=PGCD(b,r). E divise bet rdonc b=Eb''et r=Er''. Ainsi a=Eb''+Er''=E(b''+r''). DoncE divisea.

Mais Edivisant aet divisant b, Edivise nécessairement Dpuisque c'est le plus grand des diviseurs communs à aet à b. Aussi Ddivisant bet r, divise également Epour une raison similaire.

Ainsi D=E. Autrement dit PGCD(a,b)=PGCD(b,r).

FIN DE LA PREUVE

 

On peut donc ramener après une division le calcul d'un PGCD à un calcul plus facile puisque les nombres en jeu sont plus petits.

 

Exemple.Calcul de PGCD(1758,125).

1758=125×14+8

Donc PGCD(1758,125)=PGCD(125,8).

Les diviseurs de 125 sont 1,5,25,125

Les diviseurs de 8 sont 1,2,4,8

Donc PGCD(125,8)=1.

 

J'aurai pu aussi effectuer la division euclidienne de 125 par 8 :

125=8×15+5

Donc PGCD(125,8)=PGCD(8,5)

Puis

8=1×5+3

Donc PGCD(8,5)=PGCD(5,3), puis

5=1×3+2

Donc PGCD(5,3)=PGCD(3,2), puis

 

3=1×2+1

Donc PGCD(3,2)=PGCD(2,1) car 1 n'a que 1 comme diviseur positif.

Ainsi par ces divisions euclidiennes successives, on aboutit au PGCD(1758,125) sans connaître tous les diviseurs de 1758 et ni ceux de 125.

 

Cette méthode est valable pour tous les calculs de PGCD, c'est l'algorithme d'Euclide.

 

Algorithme d'Euclide

Soit a et b deux entiers. On note a0=aet a1=b. On effectue les divisions successives :

 

a0= a1q1+a2

a1= a2q2+a3

.........................

as-2= as-1qs-1+as

.........................

Les restes étant de plus en plus petits, on a les inégalités :

a1 > a2 > a3 ...... >as .... ≥0

Nécessairement, à partir d'une certaine étape le reste est nul, autrement dit, il existe une étape d pour laquellead =0 etad -1>0. Et donc

ad-3= ad-2qd-2+ad-1

ad-2= ad-1qd-1+ad= ad-1qd-1

Comme dans l'exemple, on a

PGCD(a,b)=PGCD(a0,a1)=PGCD(a1,a2)=.....=PGCD(ad-2,ad-1)=PGCD(ad-1,0)= ad -1

 

Propriété. Le PGCD de aet best le dernier reste non nul dans les divisions euclidiennes successives.

 

Remarque : PGCD(c,0)=c en effet tout entier est diviseur de 0.

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26 juin 2011 7 26 /06 /juin /2011 12:00

Vi Hart propose à ses élèves une démonstration du théorème de Pythagore par pliages

 

 

 

voir aussi Vi Hart, mathémusicienne récréative

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25 juin 2011 6 25 /06 /juin /2011 12:00

Avec la calculatrice google :

Calcul 1

Lorsque l'on multiplie le résultat obtenu par 3, on obtient 0,999999999

Calcul 2

Pourtant la même calculatrice nous dit :

Calcul 3

Donc 0,999999999=1. Est-ce vrai ?

 

Lorsque sur une calculatrice on fait la division 1÷3, le résultat obtenu est 0,3333333333... avec plus ou moins de chiffres 3 suivant la capacité de la machine.Ce que ne peut pas faire la calculatrice c'est dire qu'en réalité, il y a une infinité de chiffres 3. Il suffit de faire le calcul à la main pour s'en convaincre.

Pour le calcul 2, la calculatrice ne nous dit pas non plus qu'il y a une infinité de 9. C'est pourtant vrai.

En effet ci-dessous je fais l'opération. 3×0,3333333333... ou plutôt

0,3333333333...+0,3333333333...+0,3333333333...

Ici pas de retenue possible puisqu'à chaque colonne (même dans les pointillés), l'opération est 3+3+3=9. On peut faire l'opération colonne par colonne ainsi pour une infinité de colonnes.

 

Donc nous avons bien une infinité de 9 dans 0,9999999.....

 

Ceci prouve déjà que 0,99999999........ = 1/3 × 3 = 1.

 

Une autre explication est très connue :


0,9999999999999999.......... × 10 = 9,9999999999999999..........

Or

9,9999999999999999..........-0,9999999999999999..........=9

En notant a=0,9999999999999999.........., cela revient à 10a-a=9, autrement dit 9a=9.

Ainsi a=1. Ou 0,9999999999999999..........=1.


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24 juin 2011 5 24 /06 /juin /2011 12:00

Le contenu de cette page a été déplacé ici

 

http://3.bp.blogspot.com/-Td7BRiX675E/VCVf1ZaqXMI/AAAAAAAAAB4/mgdTZv0ofMc/s1600/ent%25C3%25AAte2.png

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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