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15 juillet 2011 5 15 /07 /juillet /2011 12:00

Je réponds à la question poséte dans Quadrilatère des milieux des côtés

 

A partir d'un quadrilatère (en noir), j'ai formé un quadrilatère dont sommets sont les milieux des côtés (en rouge), les côtés reliant les milieux étant sur des côtés consécutifs du premier quadrilatère.

 

varignon1.png varignon2.png 
 Exemple 1
 Exemple 2

 

Quel est la particularité du nouveau quadrilatère obtenu ?

 

Réponse. Pour répondre à cette question, je vais utiliser la propriété suivante

Propriété.  Si un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés d'un triangle, alors ce segment est parallèle au troisième côté du triangle et mesure la moitié de celui-ci.

Je trace les diagonales pour faire apparaître deux triangles dans le quadrilatère ABCD de départ (en couleur violette sur la figure ci-dessous).

varignon1-copie-1.png  varignon2-copie-1.png
Cas où ABCD n'est pas "croisé" Cas où ABCD est "croisé"


Dans le triangle ABD, E et F étant les milieux respectifs de [AB] et de [AD], le segment [EF] est parallèle à [BD]. De plus EF=BD/2.
Dans le triangle BDC, H et G étant les milieux respectifs de [BC] et de [DC], le segment [GH] est parallèle à [BD]. De plus HG=BD/2.
Comme [EF]//[BD] et [HG]//[BD], on en déduit que [EF] et [HG] sont eux-même parallèles entre eux.


De la même façon, dans le triangle ABC, on montre que [EH]//[AC] avec EH=AC/2. Dans ADC, on a que [FG]//[AC] avec FG=AC/2.

Ainsi le quadrilatère EFGH possède les propriétés suivantes :

  • [EF]//[HG]
  • [FG]//[EH]

C'est donc un parallélograme. De plus les côtés ont la même mesure que la moitié des diagonales du quadrilatère de départ. 

C'est le théorème de Varignon

Théorème. Si l'on joint les milieux des côtés d'un quadrilatère par des segments, les segments obtenus forment un parallèlogramme.

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14 juillet 2011 4 14 /07 /juillet /2011 12:00

Différents exemples de suites ont déjà été vus sur ce blog :

Dans cet article, je donne la définition d'une suite et le vocabulaire à partir de quelques exemples simples. Il n'est pas nécessaire d'avoir lu les articles vu plus haut.

Définition. Une suite de nombre (an)n est une famille de nombre numérotée (indexée) par 0,1,2,3.... (les entiers naturels).

 

Exemple 1.

 

Une suite peut être définie par une formule comme un=3n+2 . Les termes de la suite (un)n sont :
u0=2, u1=5, u2=8, u3=11 etc ....

 

 

Exemple 2.

La suite (bn)n des nombres pairs est donnée par la formule bn=2n.

Le suite (cn)n des nombres impairs est donnée par la formule cn=2n+1

 

Une suite peut aussi être définie de manière récursive : Comme La suite de Fibonacci et La suite de Conway . Ici pour calculer un terme, nous avons besoin de termes précédents.

Les deux exemples les plus usuels de suites définies de manière récursives sont les suites arithmétiques et les suites géométriques.

 

Exemple 3. (Suite arithmétique)

 

On peut définir une suite (tn)n de la manière suivante :

  • t0=4
  • tn+1=tn+5 (relation de récurence)

Cette suite est bien définie : on peut calculer tous les termes de cette suite. Ceci provient de la propriété de récurence.

 

Calcul de t10 :
t0=4 ; t1=9 ; t2=14 ; t3=19 ; t4=24 ; t5=29 ; t6=34 ; t7=39 ; t8=44 ; t9=49 ; t10=54.

 

Ici, on ajoute 5 à chaque terme pour obtenir le terme suivant.

 

 

 

Exemple 4.  

 

On peut définir une suite de la manière suivante

On calule les termes successivment en utilisant la relation de récurence :

 

 

 

 

A suivre ....

page des suites

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13 juillet 2011 3 13 /07 /juillet /2011 12:00

Deux personnages A et B ont des CD. A possède des CD à 11€ et B possède des CD à 17€. Les CD des 2 personnages sont en grande quantité.

 

B doit 1 euro à A mais ni l'un ni l'autre n'a d'argent. Comment peuvent-ils faire pour être quitte ?

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12 juillet 2011 2 12 /07 /juillet /2011 12:00

L'ensemble des nombres rationnels,  Q,  est dénombrable, autrement dit on peut donc énumer tous ses éléments :
0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 3, -3, 1/3, -1/3, 2/3, -2/3,.................

 

Mais Q est "partout" dans le sens suivant : entre deux nombres réels, il y a toujours un nombre rationnel.

 

Je vais montrer qu'il y toujours un nombre décimal compris entre deux réels. Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous la forme

n est un entier relatif et k un entier naturel.

 

Les nombres décimaux sont des nombres dont le développement décimal est fini.

 

Exemple :

 

 

Considérons deux nombres réels a et b, avec a<b.

Par exemple : a=12,3444560999999999.......... et

                          b=12,34567891011121314.........

b-a est un nombre positif.

Son développement décimal s'écrit :

Pour notre exemple

b-a=0,0012........

En partant de la gauche dans notre exemple, 1 est le premier chiffre non nul.
Disons qu'il a l'indice t dans le cas général avec ct (t peut être positif ou négatif). ci=0 si i>t.

 

Je pose

si t<0 et, si t≥0 je pose


Dans l'exemple, je pose d=0,001.
Si t<0, je considère a' le nombre décimal dont les chiffres sont les même que ceux de a et s'arrêtent au chiffre d'indice t. Alors a'≤a≤b d'où
          a'+d≤a+d<a+(b-a)=b car d≤b-a.
Par ailleurs a'+d>a car d>a-a' puisque a-a'<10t et que d est un multiple de 10t par un nombre positif : d=cr....ct10t.

Donc a'+d est un nombre décimal compris entre a et b.

Dans l'exemple : t=-3 et a'=12,344. On a a-a'=0,0004 <10-3=0,001 (et d=0,001).
Donc a'+d=12,344+0,001=12,345. C'est un nombre décimal compris entre a et b.

 

 

La propriété suivante a été prouvée :

 

Propriété. Entre deux nombres a et b, il existe un nombre rationnel.

 



 

 

 

 

 

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11 juillet 2011 1 11 /07 /juillet /2011 12:00

Logo est un langage de programmation que j'ai découvert lorsque j'étais écolier, sur ordinateur MO5 en 1998. Il nous permettait de dessiner des carrés, rectangles, et peut-être d'autres figures. Pour cela, nous devions (les élèves) savoir faire avancer la tortue pour former la figure souhaitée. La tortue est commandée à partir d'insructions du type : avancer, tourner à gauche, tourner à 60° à droite, etc...
Récemment, en cherchant commant tracer un flocon de von Koch sur un logiciel, je suis tombé sur une version plus récente de Logo intégrée dans le langage Python.

Je rappelle qu'un flocon de von Koch d'une étape donnée s'obtient en collant trois courbes de von Koch de même étape : voir Courbe de Von Koch à la main. Ainsi les 6 extrémités des trois courbes de von Koch étant identiques se situent sur les sommets d'un triangles équilatéral.

Il s'agit de créer une fonction récursive   (qui s'appelle elle-même) courbevk, avec pour paramètre itérations, le nombre d'itération du flocon de von Koch, c'est à dire ce que j'ai appelé le N° de l'étape.  Ci-dessous, je donne l'algorithme et la version Python. La fonction permet de tracer une courbe à l'étape itérations.

 

Algorithme Version Python
Fonction courbevk :

Si itérations=0 alors avance de 10
                     sinon Début
                              courbevk(iterations-1) ;
                              tourner à 60° à gauche ;
                              courbevk(iteration-1) ;
                              tourner à 120° à droite ;
                              courbevk(iteration-1) ;
                              tourner à 60° à gauche ;
                              courbevk(iterations-1);
                              Fin                          
from turtle import *

def courbevk(iterations):
    if iterations == 0:
        forward(10)
    else:
        courbevk(iterations - 1)
        left(60)
        courbevk(iterations - 1)
        right(120)
        courbevk(iterations - 1)
        left(60)
        courbevk(iterations - 1)

 

Entre Début et Fin il y une suite d'instruction à exécuter dans l'ordre.

 

Remarque : la courbe de von Koch est formée de segments. Pour bien afficher la figure, les segments mesurent toujours la même taille, à toutes les étapes. La forme est la même mais la taille de la figure n'est pas respectée. Dans la vérification, il faudra donc ne pas tenir compte de la taille des segment, mais seulement de la forme générale de la figure.

 

Vérification :  Il faut faire une preuve par récurence sur le nombre d'itérations.

A l'étape 0, il s'agit de tracer un segment, c'est ce qui est fait puisque la tortue avance tout droit de 10 pas.

Supposons que la courbe à l'étape n soit bien programmée. Alors il faut vérifier que le programme fonctionne aussi à l'étape n+1. Pour passer de l'étape n à l'étape n+1, on transforme chaque segment en une courbe de 4 segments. Pour les obtenir il s'agit bien d'avancer (A->B), de tourner à 60° à gauche et d'avancer (B->C), de tourner à 120° à droite et d'avancer (C->D), de tourner à 60° et d'avancer (D->E).
etape_-.png

C'est que fait la fonction.

Ensuite pour réaliser le flocon, il faut recoller les courbes. Comme les extrémités à coller forment un triangle équilatéral (voir plus haut) voici les instructions pour un flocon d'étape 3.

Algorithme Version Python (à la suite)
i:=0 (i reçoit 0)
Tant que i<3 Début
                 courbvk(3);
                 tourner à droite à 120°;
                 i:=i+1 (augmenter la valeur de i de 1);
                  Fin
i=0

 

while i < 3:
    courbevk(3)
    right(120)
    i += 1


Je ne donne pas la vérification.

Ci-dessous quelques captures d'écran :

tortue_vk3_1.pngFlocon (itérations=2)
 tortue_vk5_2.pngFlocon (itérations=4) en cours de construction
 tortue_vk5_1.pngFlocon (itérations=4) en cours de construction  tortue_vk5_3.pngFlocon (itérations=4) fini
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10 juillet 2011 7 10 /07 /juillet /2011 16:00

Voir Problème de géométrie Japonais

 

Ici je réponds à la question 1 :


Trouver le volume d'un tétraèdre régulier
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif?uselang=fr
Ci-desssous, j'ai dessiné à main levé un tétraèdre régulier ABCD. Comme on ne le voit pas, les arêtes sont toutes de même mesure et les faces des triangles équilatéraux superposables.
http://desmond.imageshack.us/Himg842/scaled.php?server=842&filename=imgp4349.jpg&res=medium

 

Disons que les arêtes ont pour longueur a.

Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire. Ici, je choisis A comme sommet principal et BCD comme base. La formule du volume d'une pyramide est


 


Je trace la hauteur issue de A en rouge. Le pied de la hauteur est le point H de la face BCD.

 http://desmond.imageshack.us/Himg3/scaled.php?server=3&filename=imgp4350l.jpg&res=medium

On a donc d'après la formule

Calcul de l'aire de BCD

Le triangle BCD est équilatéral et les côtés mesurent a. Donc (voir  Aire d'un triangle équilatéral )

Calcul de AH

IMGP4352.JPG

 

Par définition de la hauteur, AH forme des triangles rectangles AHB, AHC, AHC. Dans le triangle rectangle AHB rectangle en H, je vais utiliser le théorème de Pythagore pour calculer AH. Avant cela je dois connaître HB. Je me place dans le triangle BCD.

1) Calcul de HB dans le triangle BCD

J'admettrai le fait suivant : le point H est le centre de la face BCD. Ceci peut s'expliquer en partant du fait que ABCD est un tétraèdre régulier ...... [Je le ferai peut-être plus tard]
Autrement dit, H est le points où concourent les 3 axes de symétries qui sont à la fois les trois médianes, les 3 médiatrices, les trois hauteurs, les 3 bissectrices.
triangle_equi_gravite.png

Le triangle BCD est composé des trois triangles DHB, BHC et CHD. Ces trois triangles ont la même aire. En effet, ils sont superposables. Pourquoi ? Parceque CB=BD=DC tout d'abord, et puis parceque les angles <HCB, <HBC, <HBD, <HDB, <HDC, <HCD sont tous égaux ( les droites passant par H sont les bissectrices).

Donc

Aire(BCD)=Aire(DHB)+Aire(BCH)+Aire(DHB)=3Aire(CHB).


Comme Aire(BCD)=(CB×DS)/2 et Aire(CHB)=(CB×HS)/2, on en déduit que

(CB×DS)/2=3×(CB×HS)/2

d'où HS=DS/3. Ainsi DH=(2/3)×DS

Maintenant pour calculer DH, il faut calculer DS. Cela se fait de la même manière que dans Aire d'un triangle équilatéral  grâce au théorème de Pythagore, [DS] étant la hauteur issue de D. On a

d'où

et de même

 

2)

IMGP4352.JPG

Dans le triangle AHB rectangle en H, on a

AB²=AH²+HB²
D'après la longueur de HB calculée ci-dessus
a²=AH²+(2²×3)a²/(6²)

Donc

AH²=a²(1-12/36)=(24/36)a²=(2/3)a²
d'où 

 

 

 

 

 

Calcul du volume

 

De ce qui précède, on obtient


D'où

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9 juillet 2011 6 09 /07 /juillet /2011 12:00

Je réponds à la question posée 3 dans Jeu de dés :

Trouvez un un moyen d'obtenir un nombre entier compris entre 1 et 36, au hasard. On doit avoir la même chance d'obtenir chaque nombre.

http://img.over-blog.com/118x120/3/62/62/69/de_cube.png  http://img.over-blog.com/95x113/3/62/62/69/de_tetra.png

 

 

Le dé à 6 faces est suffisant avec deux lancers consécutifs. Le premier lancer n'a pas d'influence sur le second. Les six évènements : obtenir 1, obtenir 2, ...., obtenir 6 concernant le premier lancer sont indépendants des six suivants  obtenir 1, obtenir 2, ...., obtenir 6 concernant le second lancer.
Ainsi si je souhaite obtenir un 3 puis un 5 :

  • au premier lancer j'ai une chance sur 6 d'obtenir 3
  • si j'ai obtenu 3, j'ai alors une chance sur 6 d'obtenir 5

Ainsi pour obtenir 3 puis 5, j'ai un sixième de un sixième de chance : (1/6) fois (1/6) = 1/36.

 

De la même façon on obtient toutes les possibilités :

(1,1), (1,2), ........, (1,6)

.......................................

(6,1),(6,2),........., (6,6)

Il y en a 36. En attribuant un nombre différent entre un et 36 à chaque couple, on a une expérience permettant d'obtenir une probabilité de 1/36 n'importe quel nombre entre 1 et 36.

Voir aussi Hasard entre 1 et 24 ou Jeu de dés (2)

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8 juillet 2011 5 08 /07 /juillet /2011 12:00

A partir d'un quadrilatère (en noir), j'ai formé un quadrilatère dont sommets sont les milieux des côtés (en rouge), les côtés reliant les milieux étant sur des côtés consécutifs du premier quadrilatère.

 

varignon1.png varignon2.png 
 Exemple 1
 Exemple 2

 

Quel est la particularité du nouveau quadrilatère obtenu ?

 

Cliquer ici pour la solution.

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7 juillet 2011 4 07 /07 /juillet /2011 12:00

Voici le paradoxe de Zénon dont je vous avais déjà parlé :

On lance une pierre vers un arbre. Avant d'atteindre l'arbre la pierre doit arriver à la moitité du parcours. Il lui reste alors  la moitié du parcours à traverser. Pour y parvenir elle doit franchir la moitié de cette moitié de parcours. Il lui reste alors la moitié de la moitié du parcours à traverser.... et ainsi de suite....

Merci à l'internaute qui m'a parlé du blog Les Paradoxes Interdits où l'on peut voir la vidéo ci-dessous

 

 

Disons que la distance entre le lanceur de la pierre et l'arbre est 1. (1 décamètre par exemple)
La moitié est 1/2.
La moitié de la moitié = le quart est 1/4.
La moitié du quart = le huitième est 1/8.
.....
Donc la pierre doit avant d'atteindre l'arbre parcourir :
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+..........................................................................
Cette somme infinie est donc inférieure ou égale à 1. En fait, elle est égale à 1. On dit qu'elle "converge" vers 1.
En effet, en base 2 cette somme s'écrit (0,1111......)2 car :

Or dans l'article 0,33333..... en base quatre , nous voyons que ce nombre est égal à 1.

 

A moins que la pierre freine indéfiniment, elle finit donc par atteindre l'arbre. En tout cas, c'est le cas si sa vitesse est constante, puisqu'alors le temps de parcours est proportionnel à la distance.

En général, pour savoir si une somme infinie "converge" (si elle est égale à un nombre), on utilise d'autres méthodes. On ne peut pas toujours, comme ici, calculer cette somme, même lorsque l'on sait qu'elle existe .....
Ici, on peut calculer la somme grâce aux suites géométriques (plus tard sur ce blog).
En effet,

Reformulé avec le symbole sigma cette égalité devient :

Si l'on calcule cette somme jusqu'au k-ième terme, on a le nombre 0,1111.... écrit en base 2 avec k chiffres 1 :

C'est la somme d'une suite géométrique de raison 1/2, on peut donc utiliser la formule ci-dessous :

où q=1/2, m=k et j=n.

Ainsi, on calcule :

Or la suite 1/2, 1/4, 1/8, ....., 1/(2k), .... tend vers 0 (pour ceux qui connaissent...), c'est à dire

Comme 1-0=1, on a

C'est une méthode plus formelle pour prouver que 0,11111........ en base 2 est égale à 1.

 

 

 


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6 juillet 2011 3 06 /07 /juillet /2011 12:00

Dans cet article je donne une formulation de l'algorithme d'Euclide afin qu'il soit programmée. Une traduction est donnée en Python.

 

On veut un programme permettant de caculer le PGCD de deux entiers positifs a et b, avec a>b.

Version récursive

 

Un algortihme est dit récursif lorsqu'il s'utilise lui-même. Ici pour calculer le PGCD de a et b, le programma va, sauf si b est nul calculer le PGCD de b et du reste de la division euclidienne de a par b. Donc pour calculer PGCD(a,b), on calcule PGCD(b,r) où r est le reste. Donc le programme recommencera avec des nombres de plus en plus petit jusqu'à ce que le deuxième soit 0.

 

Algorithme


%commentaire% version récursive du calcul de PGCD 
variables : a,b  (entrée), r

Si b=0 alors retourner a
sinon r reçoit le reste de la division Euclidienne de a par b
        recommencer le programme avec b et r en entrée
 

 

Vérification : Si b n'est pas égal à zéro, on utilise la propriété PGCD(a,b)=PGCD(b,r). Ceci correspond bien à l'agorithme d'Euclide (voir article cité en haut). Le fait que le deuxième nombre soit nul signifie que le premier est le dernier reste non-nul de l'agorithme d'Euclide.


 

Remarque : Ce programme est très court, si comme ici, l'on suppose que l'on dispose d'un programme ou d'une fonction annexe qui calcule directemnt le reste de la division euclidienne, ce qui est le cas dans tous les langages de programmation.

 

Version Python

def algo_euclide(a,b) :
    %%calcul récursif du pgcd de a et b
    if (b==0) :
        return(a)
    else :
        r=a%b
        return algo_euclide(b,r)


Remarque :
En Python, a%b donne le reste de la division Euclidienne de a par b.

 

D'autres versions de l'algorithme d'Euclide existent. Une version itérative (par opposition à la version récursive le programme ne s'apelle pas lui-même) est possible mais nécessite l'utilisation d'une boucle tant que .
D'autres versions plus élaborées existent également. L'agorithme d'Euclide étendu sera présenté plus tard sur ce blog.

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  • : Maths Otak'
  • Maths Otak'
  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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