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28 avril 2012 6 28 /04 /avril /2012 12:00

Précédemment : Suite arithmétique

 

Définition : Une suite géométrique est

 

Comme pour les suites arithmétiques, on peut faire un algorithme pour calculer les termes d'une suite géométrique. Rappelez-vous l'algorithme que j'avais mis pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme a, si l'on veut le k-ième terme :

 

Calculer le k-ième terme d'une suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, r, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b+r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b    

     Sortie : le k-ième terme de la suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

 

 

Avec les suites géométriques, il y a le même algortihme, mais en replaçant la ligne b reçoit b+r par b reçoit b×r 

 

Algorihme : récur_géom

 

Calculer le k-ième terme d'une suite géométrique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, q, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b×r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b     

     Sortie : le k-ième terme de la suite géométrique de raison r et de premier terme a.

 

 


Comme avec les suites arithmétiques, cet algorithme nécéssite k opérations si on cherche le (k-1)-ième terme. Heuresement, il y a là aussi une formule.
Je ne ferai pas la démonstration de cette formule. Il suffit de remplacer + par
×. Mais alors par quoi faut-il remplacer × ? Faisons un petit détour en repensant à la définition de multiplication.

 

 

Détour : Qu'est-ce que la multiplication ?

 

Supposons que l'on sache faire les addtions. On veut apprendre à faire une multiplication, non pas intuitivement mais mécaniquement, comme le ferait un programme. Si l'on fait la multiplication 7×5, on peut faire : 7+7+7+7+7, c''est ce que l'on fait quand on ne connaît pas encore bien les tables de mutliplication. (Il s'avère que c'est la même chose que 5+5+5+5+5+5+5, j'en parlerai un jour). Cela revient à ajouter 7 à chaque fois en partant de zéro. C'est une suite arthmétique de raison 7 et de premier terme 0 dont on cherche le 5è terme. J'ai comme l'impression qu'on tourne en rond là non ? On vient de voir qu'en fait faire une mutlplication de nombres entiers, c'était trouver un terme d'une suite arithmétique. Plus précisément, on a la définition :

 

Définition : Soient m et p deux nombres entiers naturels. Le produit de m par p est le p-ième terme de la suite arithmétique de raison m et de premier terme zéro.

 

Remarque : C'est aussi le m-ième terme de la suite artihmétique de raison p et de premier terme 0. J'en parlerai un autre jour promis.

 

Donc on a défini une multiplication grâce aux suites. Quand on répète plusieurs fois la même addition, on fait une multipliation, et quand on répète plusieurs fois une multiplication, on calcule ...... une puissance. Par exemple, 35×35×35×35×35 = 35⁵. La définition d'une puissance est clairement liée à celle de suite récurente.

 

Définition : Soient q et n deux nombres, n étant entier naturel. qn est le n-ième terme de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q.

 

On a donc finalement une formule donée par la propriété suivante.

 

Propriété : Le k-ième terme d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est le nombre a×qn

 

Remarque générale :


La propriété donnant le k-ième terme de la suite géométrique c'est finalement la définition d'un puissance avec un exposant entier. De même, la propriété donnant le k-ième terme d'une suite arithmétique, c'est la définition du produit de deux nombres entiers (j'y reviendrai...). Donc on a rien appris avec ces deux articles, juste du vocabulaire...

 

 

A suivre : suites arithmético-géométriques

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27 avril 2012 5 27 /04 /avril /2012 12:00

Précédemment : Suite

 

Définition : Une suite arithmétique est une suite (récurente) dont le premier terme est donné et dont les autres termes valent le précédent plus un nombre appelé raison.

 

Exemple : u0 = 5. La raison vaut 3. Alors u1= u0+3=5+3=8, u2= u1+3=11, u3=u2+3=14 etc.....

 

Algorithme : Calculer le k-ième terme d'une suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, r, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b+r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b     

     Sortie : le k-ième terme de la suite de raison r et de premier terme a.

 

      Cette algorithme fonctionne, mais pour calculer le 1 000 èterme d'une suite, je dois faire 999 additions, je calcule les 998 termes précédents, mais si seul le 1 000 m'intéresse, il y a sans doute une méthode plus rapide. Si je veux compter le nombre d'heure d'une semaine, je peux ajouter 24h pour chaque jour de cette semaine, ou bien je fais 24 fois 7 et j'obtiens le résultat. A un détail près, supposons que 32h ont passé, c'est le premier terme de la suite u0=32, et que chaque jour  j'ajoute 24 heures. J'ai une suite arithmétique de premier terme 32 et de raison 24. Alors une semaine après, j'obtiens u7=32+24×7=200. Cela m'a pris 2 opérations. 

 

En fait il y a la formule donnée dans le propriété ci-dessous :

 

Propriété : Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors uk=u0+kr pour tout k entier naturel.

 

Preuve. On utilise pour cette preuve la propriété de récurrence : Principe de récurrence

Pour k=0, cette formule est vraie. Suppossons là vraie au rang i. Alors ui+1=ui+r.

Mais d'après l'hypothèse de récurence, on a donc ui+1=u0+ir+r=u0+i(r+1).

FIN DEMONSTRATION.

 

 

A suivre : suites géométriques

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26 avril 2012 4 26 /04 /avril /2012 11:43

Eh bien voilà quelque chose que je n'aurai pas cru possible !!!



Si certains caractères ne s'affichent pas, vous devez installer les caractères Japonais.

Un drama Japonais avec des Idoles qui font des maths. Cette série s'appelle Suugaku♥Joshi Gakuen (数学♥女子学園).

 

Pour celles et ceux qui ne connaissent pas bien le monde des Idoles et le monde des drama, je fais un petit topo.

 

Capture-du-2012-04-29-15-13-35.png

アイドル

Voilà la définition que l'on peut trouver aujourd'hui sur wikipedia :

« Au Japon, le terme idol désigne principalement de jeunes artistes des deux sexes, sélectionnés adolescents pour leur physique lors d'auditions organisées par des maisons de production et des agences d'artistes. Celles-ci les forment ensuite au chant, à la danse, à la comédie, pour promouvoir leur image dans les médias et l'exploiter dans de nombreux produits et supports à destination d'un public adolescent ou adulescent : disques en solo ou en groupes (girls ou boys band), photobooks (livres de photos), objets à collectionner et produits dérivés divers. On les fait aussi animer des émissions radio ou TV et tourner dans des publicités, films, séries télévisées, pièces de théâtre, comédies musicales. »

Dans Suugaku♥Joshi Gakuen, les guest idols suivantes font une apparition : Tsugunaga Momoko, Sudo Maasa, Yajima Maimi, Nakajima Saki, Suzuki Airi, Mano Erina, Wada Ayaka, Fukuda Kanon and Tamura Meimi. Ce sont des Idols de la société Hello!Project qui produit la série.



Drama

Un Drama (ドラマ) désigne un type de série télévisé en Asie. Cela vient au départ du Japon. Suugaku♥Joshi Gakuen est un format court, un renzoku (連続). Il est diffusé au Japon et sur internet depui janvier 2012. Pour plus d'information sur les drama, voir la page wikipedia.



Suugaku♥Joshi Gakuen

Suugaku (数学) signifie Mathématiques ( veut dire chiffre, et gaku veut dire étude). Joshi(女子) signifie Filles. Gakuen ( 学園) se traduit ici par école/académie, remarquez que l'on retrouve le même kanji gaku que dans 数学 mathématiques). Je traduis donc le titre par L'académie des matheuses.

L'histoire de ce drama est écrite en collaboration avec l' International Mathematical Olympiad in Japan. Michishige Sayumi (道重さゆみ)  and Tanaka Reina (田中れいな  ) du groupe Morning Musume y jouent les personnages principales.

L'épisode ci-dessous est le premier. Regardez-le et on pourra  en reparler plus tard dans les commentaires si vous le souhaitez. Comme çà je ne dévoile rien.

 

 

 

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25 avril 2012 3 25 /04 /avril /2012 12:00

Cet article fait suite à  Liar Game (2) : La décision minoritaire



SPOILER : Attention, dans cette article, je dévoile allègrement l'histoire du manga.



Cette stratégie nécessite une équipe de 8 joueurs sur les 22 participants.



人 人 人 人 人 人 人 人

Équipe d'Akiyama

人 人 人 人 人 人 人 人 人 人 人 人 人

Les autres



Pour le bon déroulement de la stratégie, 4 membres l'équipe d'Akiyama doivent voter YES et 4 doivent voter NO :

人 人 人 人

YES

人 人 人 人

NO



Commentaire : Au moins de l'équipe Kanzaki ne seront pas éliminés à l'issu du vote.

Mais comment vont voter les autres ?

  • Si les autres votes avec 7 YES et 7 NO il faudra revoter ;

  • Sinon la marge minimale serait 6 YES et 8 NO (ou l'inverse).

Dans le cas où la marge est minimale voici ce qu'il reste



人 人 人 人 

Équipe d'Akiyama

人 人 人 人 人 人 

Les autres



(Pourquoi?)

Voici comment se passe le tour suivant en suivant la même tactique, dans l'hypothèse d'une marge minimale :





人 人   

Équipe d'Akiyama

人 人  

Les autres



(Pourquoi ?)

Le jeu approchera alors à sa fin. Pour la manche qui va suivre l'équipe d'Akiyama va à nouveau se partager en deux pour qu'un des joueurs ne soit pas éliminé. Chez les 2 autres joueurs deux cas sont envisageables :

  • les deux joueurs donnent la même réponse auquel cas ils sont éliminés car faisant partie de la majorité ;

  • les deux joueurs donnent une réponse différente, dans ce cas la partie est à rejouer.

Avec cette stratégie, la partie est donc gagnée d'avance pour l'équipe de Kanzaki qui n'auront plus qu'à se partager le magot : 2,2 milliards divisé par huit = 275 millions. Chacun des joueurs devant rendre 100 millions, il leur restera 175 millions.



Commentaires :

  • Dans cette simulation, on a supposé que la marge était minimale, mais dans le cas contraire, on aboutirait à la même chose, mais plus rapidement.

  • Il est possible de répéter la même étape si le nombre de YES est égal au nombre de NO Jusqu'à épuisement de l'un des joueurs.... On va considérer que cette situation se produit pas.

     

A suivre : Le jeu a lieu. On remarque qu'un joueur nommé X se qualifie à chaque tour. Quelle est sa stratégie ?...



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22 avril 2012 7 22 /04 /avril /2012 12:00

Cet article fait suite à Liar Game (1) : Jeu de menteur



SPOILER : Attention, dans cette article, je dévoile allègrement l'histoire du manga.





http://www.editions-tonkam.fr/img/couv/g/9782759503698.jpg

Voici les principes de la décision minoritaire donnés par le « RONIRA »:

 

« Vous devez connaître la  décision majoritaire  en vigueur au parlement et aux élections.

… A cause d'elle la majorité a toujours l'initiative, la minorité étant elle pénalisée.

Or vous êtes ici pour vous livrer à un jeu diamétralement opposé : la majorité meurt … la minorité survit... »

 

La règle.

« Nous vous poserons une question fermée à laquelle vous répondrez par YES ou NO.

Quand vous aurez tous voté, nous dépouillerons et les joueurs en minorité seront déclarés vainqueurs Ces derniers passerons à la question suivante »

 

 

 

 

Les perdants sont éliminés. Ils doivent les 100 millions avant de partir.

 

En cas d'égalité, le vote est annulé et un autre vote a lieu. Les tours s’enchaîneront jusqu'à ce qu'il ne reste plus que 1 ou 2 joueurs (d'après vous pourquoi on ne continue plus s'il y a 2 joueurs ?).

 

S'il n'y a qu'un gagnant, il empoche les 2,2 milliards moins 100 millions devant être rendus aux organisateurs. S'il y en a deux, ils se partagent les 2,2 milliards et rendent chacun 100 millions aux organisateurs.

 

Déroulement d'une manche.

 

Une question est posée, par exemple

« Êtes-vous une femme ? » 

Les joueurs ont 6 heures pour réfléchir au cours des quels ils peuvent communiquer entre eux. Ensuite, ils doivent voter.

Mais chaque joueur peut voter avant la fin des 6H s'il le veut.

La question est donc sans importance, ce qui compte c'est qu'elle n'ait que deux réponses possibles.

 

Retour à l'histoire.

 

Akiyama et Kanzaki feront équipe. Akiyama a une stratégie. Et vous qui lisez cet article, en avez vous une ?

 

A suivre : Nous verrons avec quelle technique Akiyama et son alliée Kanzaki peuvent gagner à coup sûr.

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21 avril 2012 6 21 /04 /avril /2012 16:00

Après un grand moment d'absence, j'entame ici une série d'articles consacrés au manga Liar Game.



SPOILER :Attention, dans cette article, je dévoile allègrement l'histoire du manga.



Liar Game (ライアーゲーム) est un manga de Kaitani Shinobu (甲斐谷忍) prépublié tout d'abord dans le magazine Young Jump, édité au format relié par Sheisha, puis adapté en drama (ドラマ). En France, il est au format relié aux éditions Tonkam.

 

http://fujitv-liargame.up.seesaa.net/image/top.JPG

 

C'est Pauline AKA Piwit Ayame qui m'a permis de découvrir le drama (puis donc le manga dont il provient) au scénario d'une efficacité toute mathématique.



Si vous souhaitez ne souhaitez pas en savoir davantage, veuillez arrêter la lecture de cet article dès à présent.



Le jeu

Pitch:

Kanzaki Nao (神崎直), une honnête jeune femme reçoit un colis intriguant. Sur le carton l'accompagnant, elle comprend qu'il s'agit d'un jeu. Si elle ouvre le colis, elle devra y participer. Bien sûr, elle l'ouvre.

A l'intérieur, il y a 100 000 000 ¥ (soit 930 000 €).

Au même moment, une autre personne, son adversaire, reçoit le même colis.

Trois possibilités s'offrent à elle :

  1. Prendre une partie des 100 000 000 ¥ de son adversaire et les garder ;

  2. Se faire prendre une partie des 100 000 000 ¥ par son adversaire ;

  3. Ne rien prendre et ne rien se faire prendre.



Au bout de 30 jours, elle devra rendre 100 000 000 ¥ aux organisateurs du Liar Game.



Ceci constitue la première manche du Liar Game. Kanzaki s'en sortira, mais elle participera à la seconde manche du jeu. C'est cette seconde manche qui m'intéresse pour les deux prochains articles.

 

http://www.editions-tonkam.fr/img/couv/g/9782759503698.jpg

La seconde manche

Kanzaki Nao rencontre Akiyama Shin'ichi (秋山深) (voir photo en début d'article), un personnage calculateur au contraire de Kanzaki. Dans la seconde manche, il y a 22 participants dont Akiyama et Kanzaki.



Les 22 joueurs sont rassemblés dans une salle. Voici le règlement énoncé par le « RONIRA » , le meneur de jeu s'adressant aux 22 joueurs :

  • « Vous disposez chacun de la même somme soit 100 millions de yens (environ 930 000 €), donc 2,2 milliards de yens (environ 20 406 000 €) se trouvent rassemblés ici.... »

  • « Cette seconde manche consiste en un jeu vous opposant les uns aux autres... chaque perdant quittera la salle ... il devra déposer ses 100 millions … vous serez de moins en moins nombreux mais il y aura toujours 2,2 milliards ici. »

  • « … le meilleur, qui restera empochera l'intégralité de cet argent. Comme il devra rendre les 100 millions prêtés au départ, il gagnera en fait 2,1 milliards. »

Une question de Kanzaki au « RONIRA » :

« Que se passe-t-il pour les perdants ?

  • Rien de particulier, ils devront restituer l'argent qui leur a été prêté au départ. »

Puis le « RONIRA » reprend :

« Bien à présent... expliquons en quoi consiste ce « jeu »... basé sur la décision minoritaire ».

 

A suivre : demain.



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19 juillet 2011 2 19 /07 /juillet /2011 12:00

L'ensemble Q des nombres rationnels possède la propriété suivante :

 

 

Propriété.Si a et b sont deux nombres rationnels positifs, alors il existe un entier n positif ou nul tel que nab.

 

Preuve.

Je commence avec deux nombres rationnels quelconques a et b. On a donc

avec m,q,p,r entiers et q, r non-nuls.

Pour comparer ces nombres, je les mets au même dénominateur

 

Je vais chercher un entier naturel n tel que na>b.

Si mr>qp, alors a>b donc on peut écrire 1a>b, n=1 convient.

Sinon, je pose

et j'effectue la division euclidienne de qp=q' par mr=m', d'où

avec s<m'. Ainsi (t+1)m'=tm'+m'>tm'+s=q'. L'inégalité

me permet d'obtenir

soit

En prenant n=t+1, on a  na>b.

Fin de la preuve.

 

Q possédant cette propriété est qualifié d'Archimédien.

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18 juillet 2011 1 18 /07 /juillet /2011 12:00

Cet article suit Somme des degrés impairs

 

La propriété vue dans l'article cité plus haut est la suivante :

 

Propriété 1. Dans un graphe la somme de degré impairs est un nombre pair.

 

Autrement dit, en ne considérant que les sommets ayant un degré impair, on obtient un nombre pair en faisant leur somme. Mais, alors cela implique que le nombre de ces sommets de degré impair est nécessairement pair. Cela provient de la propriété suivante concernant les nombres entiers pairs et impairs.

Propriété 2. Une somme de nombres impairs est impaire si et seulement si ces nombres sont en quantité impaire.

Preuve.
Considérons r nombres impairs n1, n2, ......, nr . Comme ces nombres sont impairs, on peut écrire

n1=2k1+1, n2=2k2+1, ....., nr=2kr+1k1, k2, ...., kr sont des entiers.

Alors n1+ n2+ ......+ nr =  2k1+1+2k2+1+....+2kr+1 = 2(k1 + k2+ ....+ kr) + 1+...+1=2(k1 + k2+ ....+ kr) + r

Donc n1+ n2+ ......+ nr = 2m + r, où m=k1 + k2+ ....+ kr .

Si r est impair : r=2p+1 pour un entier p et n1+ n2+ ......+ nr = 2m + 2p+1=2(m+p)+1=2m'+1, avec m'=m+p. Dans ce cas, la somme est impaire.
Sinon, r est impair pair : r=2p et n1+ n2+ ......+ nr = 2m + 2p+1=2(m+p) =2m'  . Dans ce cas la somme est paire. 

FIN DE LA PREUVE.

 

 

Remarque : Même si cela ne sert pas dans la propriété qui suit, les entiers n1, n2, ......, nr ne sont pas nécessairement positifs.

 

On en déduit donc le résultat suivant : 

 

Propriété 3. Dans un graphe le nombre de sommets ayant un degré impair est pair.

 

En gardant l'exemple de mes amis Facebook, je peux construire un graphe composé de ces amis. Il y a une arête lorsque deux de mes amis sont amis entre eux. Le degré d'un ami est donc le nombre d'amis qu'il a en commun avec moi. De la propriété 3, on déduit que j'ai un nombre pair d'amis Facebook ayant un nombre impair d'amis communs avec moi.

 

Autres articles concernant les graphes pour débutants.

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17 juillet 2011 7 17 /07 /juillet /2011 12:00

Voir Problème de géométrie Japonais

 

Ici je réponds à la question 2 :


Etant donné un triangle équilatéral de côté 1 comme dans la figure ci-dessous, tracer trois droites vers le centre, construire trois triangles égaux et leur cercles inscrits. Montrer que le diamètre des cercles est 0,26794.jap1_qu1.png

Réponse :

1) Construction du centre et partage du triangle


    Dans un triangle, les médianes se coupent en un point appelé le centre de gravité. Dans un triangle équilatéral, les médianes sont les axes de symétrie, le centre de gravité peut alors simplement être appelé centre du triangle. Ce point est équidistant des trois sommets du triangle équilatéral. En reliant les sommets du triangle au centre, on obtient trois triangles superposables. Voir aussi 1) Calcul de HB dans le triangle BCD de Problème de géométrie Japonais (Réponse 1) : Volume d'un tetraèdre régulier


    Par ailleurs, dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi les bissectrices. 

 

2) Construction des trois cercles

 

Les trois cercles sont inscrits dans les trois triangles. Ils ont exactement un point de contact avec chaque côté de leur triangle. Je vais expliquer rapidement comment les construire :

a) Construire deux bissectrices

b) elles se coupent en un point qui sera le centre du cercle

c) choisir un côté du triangle et tracer la perpendiculaire à ce côté passant par ce centre

d) la perpendiculaire coupe le côté en un point qui sera le point de contact du cercle avec le côté

e) tracer le cercle

 

Plus d'explications plus tard

 

 

A suivre ...

 

 


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16 juillet 2011 6 16 /07 /juillet /2011 12:00

Je vais répondre à la question 4 de Jeu de dés

 

dé cube  dé tétra
 Dé cubique à 6 faces
 Dé tétraèdrique à 4 faces

 

Le nombre 2304 peut se décomposer en le produit :

2 304 = 4×6×4×6×4 = 4×4×4×6×6=43×62

 

Pour obtenir 2 304 possibilités, on peut utiliser le schéma suivant : 

  1. On lance successivement 3 dés de 4
  2. On lance successivement 2 dés de 6

Ainsi, comme dans par exemple Hasard entre 1 et 24 , on obtient 2 304 résultats différents possibles avec la même chance de se réaliser 1/2 304. Reste à trouver le moyen d'attribuer un nombre compris entre 1 et 2 304 en fonction de chaque suite de lancers.
Par exemple la suite 3-3-2-5-1 doit correspondre à un nombre.

A suivre ...

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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