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15 décembre 2013 7 15 /12 /décembre /2013 10:00

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique : l'anecdote de Gauss.

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpgPour introduire la somme des premiers termes d'une suite géométrique, mon prof de 1ère S, nous avait fait calculé la somme suivante :

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

Il nous avait raconté l'anecdote célèbre sur le mathématicien Gauss (mais que certains ont entendu sur d'autres illustres mathématiciens...), que, pour ma part j'aime à croire juste. Gauss alors âgé de 5 ans, puni par son maître devait calculer cette somme :

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

L'histoire dit alors que le professeur ayant donné ce calcul pensait sans doute être tranquille un certain temps. Il s'était bien trompé. L'enfant très doué et plutôt impertinent (mais aussi pertinent), avait calculé cette somme en deux coups de cuillère à pot en utilisant un truc tellement simple qu'il en est d'autant plus déroutant.

 

Voici ce truc : écrivons cette somme à rebours pour commencer et plaçons la juste sous la somme dans l'ordre initial

 

 

1

+

2

+

3

+

..............................

+

98

+

99

+

100

100

+

99

+

98

+

…..........................

+

3

+

2

+

1

 

 

Maintenant ajoutons ces deux sommes en associant 1 à 100, 2 à 99, 3 à 98, …...., 98 à 3, 99 à 2, 100 à 1.

 

On obtient

 

101

+

101

+

101

+

…..........................

+

101

+

101

+

101

 

C'est à dire 100 × 101. La somme de départ a été ajoutée à elle même, chaque terme est en double exemplaire. Donc la somme de départ

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

vaut donc la moitié de 100 × 101 :


Ainsi même en donnant la somme des 1000 ou des 10000 premiers nombres, le maître n'aurait pas réussi à se débarasser du génie plus de quelques minutes. En effet on peut facilement généraliser ce calcul, en trouver pour la somme des n premiers entiers strictement positifs  :

Remarques : La somme calculée est celle des n premiers termes de la suite (un) définie par u0=1 et un=un-1 + 1 (pour n au moins égal à 1), qui est la suite artihmétique de premier terme 1 et de raison 1.

Nous verrons dans un prochain article de ce blog que le truc de l'enfant Gauss peut être généralisé à toutes les suites arithmétiques, permettant ainsi de calculer la somme des premiers termes de toutes ces suites.

 

Ce nombre

correspond aussi au nombre de segments pouvant être tracés avec n points distincts (voir Nombre de diagonales d'un polygône (4) ) ou encore au nombre de couples possibles dans un ensemble de n personnes (plus tard sur ce blog). Y a-t-il un rapport entre ces quantités et la somme 1+2+......+n ?


 

Page des suites

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13 décembre 2013 5 13 /12 /décembre /2013 18:00

L'ensemble R² : présentation

Construction

 

L'ensemble R des nombres réels peut être représenté par une droite

Un nombre réel est un point de cet axe : voir X ci-dessous

 



 

Sortons de cet axe et prenons un point M en dehors dans le plan

 

 

Ce point peut lui aussi être considéré comme un nombre. Pour cela, un deuxième axe est nécessaire :

 

18-copie-2.png


Ce point correspond à deux nombres réels : un pour le premier axe (abscisse) et un pour le deuxième axe (ordonnée). Ces deux nombres (abscisse et ordonnée) sont les coordonnées de M.

 

En partant de l'ensemble R des nombres réels, on peut donc former l'ensemble R×R noté aussi . Il est constitué des couples de nombres (x,y) où x et y sont des nombres réels.

 


Sur le dessin M=(a,b) et X devrait plutôt être noté (X,0).

 

Remarque : sur la figure les axes sont perpendiculaires, car on les représente souvent comme cela, mais ce n'est pas nécessaire. Ce qui est nécessaire est que les deux axes soient sécants en un point ayant pour coordonnées 0 et 0. L'un jouera le rôle de l'axe des abscisses et l'autre celui de l'axe des ordonnées.

 

Opérations

Comme on peut additionner les nombres réels, il est aussi possible d'additionner les nombres de .

Par exemple

(2;-3)+(7;3)=(9;0)

On comprend rapidement comment fonctionne l'addition dans R² :


Définition. Si (a,b) et (x,y) sont deux nombres de R², alors leur somme est 

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)

 

On dit que l'on ajoute (x,y) à (a,b).

 

Remarquons que
 

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)=(x+a,y+b)=(x,y)+(a,b)

 

Autrement dit, dans une somme (ou addition) l'ordre des termes n'est pas important. On dit que l'addition est commutative (on peut commuter les termes).

 

Remarque typographique. pour séparer les deux coordonnées, on utilise une virgule, mais pour éviter toute confusion, j'emploie parfois un point-virgule lorsqu'il s'agit de nombres en chiffres.

 

Propriété/Définition. Pour tout couple (a,b) de réels, il existe un unique couple (x,y) tel que 

(a,b)+(x,y)=(0,0).

Ce couple est (-a,-b) et on le note -(a,b). On l'appelle l'opposé de (a,b).

 

Démonstration.


(a,b)+(x,y)=(0,0) si et seulement si (par définition) (a+x,b+y)=(0,0). Autrement dit
(a,b)+(x,y)=(0,0) si et seulement si a+x=0 et b+y=0 ce qui équivaut encore à a=-x et b=-y. D'où le résultat.

 

Notation. (0,0) est noté tout simplement 0. Dans les opérations il ne peut pas y avoir d'ambiguité puisque l'addition n'est définie que pour deux réels ou pour deux élément de .

On comprend alors, suivant le contexte, si 0 désigne un élément de R ou un éléùet de .

 

On dit que 0 est un élément neutre pour l'addition. Cela est vrai dans R et dans . Un prochain article sera consacré à ce que l'on appelle un élément neutre. Aussi bien dans R et dans , il n'y a qu'un seul élément neutre pour l'addition.

 

Définition/Notation. Soustraire un nombre à un autre nombre de c'est lui ajouter son opposé. La soustraction de (a,b) par (x,y) se note (a,b)-(x,y)=(a-x,b-y).

 

Peut-on faire d'autres opérations dans , multiplication ou division ? Peut-on faire des opérations entre des éléments de R et des éléments de ?

 

A suivre...


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10 décembre 2013 2 10 /12 /décembre /2013 10:00

Voici le trailer du film, j'espère le voir bientôt

 


 
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8 décembre 2013 7 08 /12 /décembre /2013 15:11

Cet article fait suite à :

 

Suite arithmético-géométrique

 

Avant de voir les suites de type arithmético-géométrique, revoyons rapidement, les suites arithmétiques et les suites géométriques.

 

Exemple 1 (suite arithmétique)

 

-2 ٠1 ٠ 4 ٠ 7 ٠ 10 ٠ 13 …......

est une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme a0 = -2.

On a pour tout entier naturel n, an=-2+3n.

 

Exemple 2 (suite géométrique)

 

3 ٠-6 ٠ 12 ٠ -24 ٠ 48 …......

est une suite géométrique de raison -2 et de premier terme g0 = 3.

On a pour tout entier naturel n, gn=3×(-2)n.

 

Définition. Une suite arithmético-géométrique est une suite (hn) définie pour tout entier naturel n par

hn=qhn-1+r

où q et r et h0 sont des réels.

 

Remarque. Comme pour les suites arithmétiques et géométriques, c'est une définition récursive. Dans une suite arithmético-géométrique pour passer d'un terme au terme suivant on applique les deux procédés des types de suites justement évoqués.

 

Exemple 3 (suite arithmético-géométrique)

On prend h0=-1, q=3 et r=-2, voici les premiers termes de la suite (hn) : je les calcule avec un tableur pour gagner du temps

 

16.png

 

Ce qui donne

-1 ٠ -5 ٠ -17 ٠ -53 ٠ -161 ٠ -485 ٠ -1457 ٠ -4373

 

17.png

On peut remarquer en calculant la différence entre deux termes consécutif que cette différence semble former une suite géométrique :

 

-4 ٠ -12 ٠ -36 …...

 

de terme initial -4 et de raison 3...

 

 

 

Autrement dit, il semblerait que que la suite (dn) définie par dn=hn+1-hn soit géométrique.

 

 

 

 

Questions :

  1. Peut-on exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique par une formule comme pour les suite arithmétique et les suites géométriques ?

  2. Comment pourrait-on définir une suite géométrico-arithmétique ? Est-ce la même chose qu'une suite arithmético-géométrique ? Peut-on généraliser ce procédé ?

 

À suivre....

 

Pour en voir plus sur les suites ici : Page des suites.

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4 décembre 2013 3 04 /12 /décembre /2013 17:18

Cet article fait suite à :

 

J'ai donné cette question à mes élèves de 1ère S après avoir vu la notion de combinaison (à suivre dans un prochain article de ce blog) :

 

Combien à polygone à n côtés possède-t-il de diagonales ?

 

http://img.over-blog.com/600x319/3/62/62/69/polygone/deca_poly10-copie-1.png

 

Voici la réponse que je leur ai proposé :

 

Un polygone à n côtés possède n sommets  (pourquoi ?). Une diagonale est un segment ayant pour extrémités deux sommets du polygones qui ne sont pas reliés par un côté. Avec n sommets, on peut former 

segments. Parmi ceux-ci, n sont déjà reliés par un côté. Donc le nombre de diagonales d'un polygone à sommets est

Or

 

On en  déduit que le nombre de diagonales est

 

 

J'avais donné ce problème à mes élèves de collège, certains avaient remarqué que le nombre de diagonales formaient une suite récurente particulière. Ils ne l'avaient pas tout à fait formulé ainsi.... cependant. Il sera question de cette suite dans un prochain article de ce blog. 

 

A suivre .....

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3 septembre 2013 2 03 /09 /septembre /2013 12:00

Cet article suit :

Nous avons vu que dans la gamme tempérée, le rapport de fréquences pour une tierce (DO-MI) est

  • MI/DO=5/4 pour une tierce majeure
  • MI♭/DO = 6/5 pour une tierce mineure

Autrement dit : MI/DO=4/5 et MI♭/DO=5/6.



Changement d'octave



Lorsque l'on passe à l'octave supérieure toutes les fréquence sont multipliées par 2. En passant encore à l'octave supérieure, les deux fréquences sont multipliées par 2 et leur rapport ne change pas. Et ainsi de suite pour toutes les octaves supérieures. Pour les octaves inférieures, le rapport reste identique comme on le voit en divisant toutes les fréquences par 2, à plusieurs reprises.



Autres transpositions



Pour étudier les autres transpositions, il est nécessaire de connaître la manière dont est construite une gamme.



 

De Do à Do#=Ré♭ , il y a ½ ton

De Do à Ré, il y a un ton = 2 ½ tons

 

 

De Ré à Ré#=Mi♭ , il y a ½ ton

De Ré à Mi, il y a un ton = 2 ½ tons

 

De Mi à Fa, il y a ½ ton

 

 

De Fa à Fa#=Sol♭ , il y a ½ ton

De Fa à Sol, il y a un ton = 2 ½ tons

 

 

De Sol à Sol#=La♭ , il y a ½ ton

De Sol à La, il y a un ton = 2 ½ tons

 

 

 

De La à La#=Si♭ , il y a ½ ton

De La à Si, il y a un ton = 2 ½ tons

 

 

De Si à Do, il y a un ½ ton

 



 

Par exemple si l'on transpose l'intervalle DO-MI un ton au dessus, le nouvel intervalle obtenu est RE-FA#. L'intervalle DO-MI♭ devient RE-FA.

 

En me référant au site de Jean-Jacques Dialo, je calcule ci-dessous les nouveaux rapports de fréquences : 

tierces_tr1.png

Les rapports restent encore une fois inchangés.

Pour toutes les autres transpositions (quelque soit le nombre de ½ tons au dessus ou en dessous), on pourra vérifier que les rapports restent identiques pour la tierce mineure et pour la tierce mineure.

En fait, quelquesoit l'intervalle de départ et quelquesoit la transposition effectuée, le rapport de fréquence reste identique comme on peut le vérifier. C'est ainsi qu'est construite la gamme tempérée de musique. Contrairement aux gammes chromatiques et aux gammes Pythagoricienne. La différence entre ces gammes sera le sujet d'un prochain article.

 

A suivre....

 

remarque : dans cet article je suppose que Ré#=Mi♭, cependant nous verrons dans la suite que je ments un petit peu.

 

 

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27 août 2013 2 27 /08 /août /2013 12:00

Cet article fait suite à Tierce Majeure et tierce mineure, et il remplace l'article Tierce Majeure et tierce mineure (2) posté deux ans plus tôt.


 


 

Comparaison des deux tierces dans la gamme tempérée


Tierce Majeure (Do-Mi) Tierce mineure (Do-Mi♭)
Do : 261,6 Hz Do : 261,6 Hz
Mi : 329,6 Hz

Mi♭: 311,1 Hz

fractions_tmaj.png

 

 

fractions_tmin.png

 

 

 

 

  Alors quelle est votre fraction préférée ?

 

Question :

  • Les rapports 5/4 et 6/5 restent-ils valables lorsque l'on fait une transposition, par exemple si l'on prend les même notes avec une octave au dessus ?

Oui car, pour transposer à l'octave supérieure, on mutipplie par 2 les fréquences. Les rapports restent donc inchangés (10/8=5/4 et 12/10=6/5).  

 

Pour les autres transposition, nous avons besoin de savoir somment est construite une gamme, ton, demi-tons etc. J'aborderai ce sujet dans un prochain article. Et puis pourquoi cette gamme est-elle dite tempérée ?

 

A suivre ....

 

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16 juillet 2013 2 16 /07 /juillet /2013 12:00

Un clip de 2011 du groupe japonais Tofubeats, intitulé Touch

tofubeats - touch(PV) from tofubeats on Vimeo.

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24 juin 2012 7 24 /06 /juin /2012 14:48

 

 

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29 avril 2012 7 29 /04 /avril /2012 12:00

 Cet article fait suite à Liar Game (3) : La stratégie d'Akiyama



SPOILER : Attention, dans cette article, je dévoile allègrement l'histoire du manga.



Le jeu a lieu. On remarque qu'un joueur nommé X se qualifie à chaque tour. Quelle est sa stratégie ?...

La stratégie de X s'inspire de celle de Nakayama. Mais à sa différence, il crée 3 équipes de 8 et il appartient à chacune d'elle.


人 人 人 人 人 人 人 X

Équipe 1 (Nakayama)

人 人 人 人 人 人 人 X

Équipe 2

人 人 人 人 人 人 人 X

Équipe 3

 

A chaque tour, les équipes se comportent comme celle de Nakayama (voir Liar Game (3) : La stratégie d'Akiyama ) : une moitié vote YES et l'autre moitié vote NO. De cette manière X est assuré de toujours faire partie de la minorité (pourquoi?). Au cours des différents tours, chaque équipe compte 8, 4, 2 et finalement 1 personne qui ne peut être que X. Donc X gagne la partie si sa stratégie fonctionne, c'est à dire s'il arrive à convaincre tout le monde, l'équipe de Nakayama ayant déjà décidé d'adopter cette tactique. Aussi pour mener à bien son plan X devra rester discret.



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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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