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1 janvier 2014 3 01 /01 /janvier /2014 12:00

Un film dans l'avion

              Un film grand public sur les maths... çà ne me disait trop rien... Et puis j'avais du temps à passer dans l'avion, je revenais du Japon et je devais bien occuper la dizaine d'heures de vol qui m'attendais. Je n'avais plus rien à lire. Il y avait ce film dont j'avais entendu parler, avec Russel Crowe sur le mathématicien John Nash. John Nash souffrait de troubles psychiatriques sérieux, mais ce fût le seul mathématicien à obtenir un prix Nobel, le prix Nobel n'ayant jamais existé en mathématiques, cherchez l'erreur. C'est .... en économie qu'il reçut son prix.

 


N'empêche que ce film m'a beaucoup ému et que je vous le recommande.

A beautiful Mind (un homme d'exception)

 

Voici donc le trailer en version originale de A beautiful Mind dont le titre français est Un homme d'exception.

 


 

 

 

 

 

 

 

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31 décembre 2013 2 31 /12 /décembre /2013 12:00

Cet article fait suite à Suite géométrique   mais si vous voulez voir tout ce qui concerne les suites sur ce blog, allez sur cette page s'il vous plait.

 

Considérons une suite géométrique g=(gn) de terme initiale g0 et de raison q.

 

On supposera que q≠1 (en effet dans le  cas q=1 la suite est constante).

 

Si k est un entier naturel, on a

gk=qkg0

 

 

Alors si n est un entier au moins égal à 2, on a

 

g0+g1+.....+gk +.....+gn=g0+qg0+...+qkg0.+qng0 = g0(1+q+q²+....+qk+....+ qn)


Avec la notation Σ  cela donne


Il suffit donc de savoir calculer la somme entre parenthèses (remarquons pour la version utilisant la notation Σ les parenthèses sont inutiles, en sous-entendant que le calcul de la somme Σ est prioritaire).

 

Notons cette somme entre parenthèses Sn. Soit

Sn=1+q+q²+....+qk+....+ qn

 

ou


L'astuce pour la calculer est la suivante :

  • multiplions cette expression par q puis
  • retrachons à la somme de départ le résultat obtenue

Cela donne :

  • qSn=q×(1+q+q²+....+qk+....+ qn )=q×1+q×q+q×q²+....+q×qk+....+q× qn = q+q²+q³+....+qk+1+...+qn+1

    ou
  • D'où
    1+q+q²+....+qk+....+ qn - q×(1+q+q²+....+qk+....+ qn ) = 
     
    1 + q + +....+ qk +....+ qn
      - q - -....- qk -....- qn - qn+1 =  
    1                 - qn+1    

 Soit  Sn-qSn=1-qn+1

ou encore (1-q)Sn=1-qn+1

 

Comme q≠1, 1-q≠0 et cela donne


Pour obtenir la somme des termes de (gn), il suffit de multiplier ce résultat par g0.

 

On a donc démontré la propriété suivante

 

Propriété. Si q≠1et si (gn) est une suite géométrique de terme initiale g0 et de raison q, on a pouir n entier au moins égal à 2 :



 

 

Remarque. Avec la notation Σ, on a une version plus compacte, mais dont il faut bien comprendre chaque étape (prendre le temps)


Or

et

Ainsi

 


 


 

Même si cette notation se veut plus rigoureuse, elle est quand même plus compliquée que celle utilisée précédemment, et pas plus claire dns certains cas. Ne pas hésiter à poser des questions en commentaires...

 



 

 

 

 

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30 décembre 2013 1 30 /12 /décembre /2013 12:00

Dans cette émission diffusée sur France inter, Jean Claude Ameisen nous parle de Kepler, de cristaux, de solides de Platon, d'hexagone, du nombre d'or, de solides de Kepler..

 

Cliquez sur l'image pour aller sur la page de l'émission

  visuel Sur les épaules de Darwin

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29 décembre 2013 7 29 /12 /décembre /2013 12:00

Avant de donner une définition du terme vecteur, je souhaiterai donner des exemples.

 

Plaçons-nous dans un repère : une origine et deux axes gradués.

 

Prenons un point A et un point B dans ce plan de coordonnées respextives (xA,yA) et (xB,yB) (voir L'ensemble R² : présentation) comme ci-dessous. On a vu que dans R², on pouvait additionner ces coordonées, on obtient alors d'autres coordonnées : 

 

 

(xA,yA) + (xB,yB)=(xA+xB,yA+yB)=(xC,yC)

 

Notons C le point de coordonnées (xA+xB,yA+yB). 

 

37.png

 

Sur la figure,


A : (xA,yA) =(3;4) et B : (xB,yB)=(-2;2)

d'où

C : (xC,yC)=(xA+xB,yA+yB)=(1;6)


Je fais maintenant appraître des flèches reliant l'origine du repère à A, B et C; et aussi des flèches reliant A à C et B à C.

38.pngEn regardant la figure, on "voit" que :

  • la flèche allant de O à A et la flèche allant de B à C sont les même : dans les deux cas on se déplace de 3 unités en abscises et de 4 en ordonées (ce sont les coordonnées de A). Cette flèche est en rouge.
  • la flèche allant de O à B et la flèche allant de A à C
    sont les même : dans les deux cas on se déplace de -2 unités en abscises et de 2 en ordonées (ce sont les coordonnées de A). Cette flèche est en violet.
  • la flèche allant de O à C peut s'obtenir en metant bout à bout la flèche rouge et la flèche violette dans l'ordre que l'on veut (soit la rouge puis la violete, soit la violette puis la rouge).
  • Les coordonnées de la flèche

Dans le monde des vecteurs la flèche rouge qu'elle parte de O ou de A est la même. En fait, dans le monde des vecteurs, seuls comptent les coordonnées.

 

Voici comment, je définirai les vecteurs sur ce blog :

 

Définition. Les vecteurs du plan sont des couples de rééls notés


Généralement, un vecteur se note avec une flèche.

 

 

Graphiqument les vecteurs se représentent par des flèches.

 

Dans l'exemple ci-dessous

39.png

le vecteur est noté

  

et ses coordonnées sont

 

Comme l'avions déjà constaté, il peut y avoir plusieurs représentants pour un même vecteur :

40.png

Cependant, parmi tous les représentant, il y en a un qui a pour coordonnées les mêmes coordonnées que le point d'arrivée :

41.pngIci le vecteurs a les mêmes coordonnées que le point A.

 

Notation. Si M(xM,yM) et P(xP,yP) sont deux points de R², on note


le vecteur de coordonnées


Remarque : tout vecteur a une infinité de représentants, car le point de départ (M ici), peut être choisi arbitrairement.

 

Revenons à notre exemple de départ. Pour aller du point O au point C dans l'exemple de départ, on voit que l'on peut passer par le point B ou par le point C.

 


38.png

 

On a en outre


Cela s'explique par le fait que

et

 

La somme de deux vecteurs peut donc se "visualiser" en dessinant bout à bout des représentants des deux vecteurs dont on veut faire la somme. La possibilité de passer par B ou par A sur le dessin est une illustration de la commutativité de la somme dans R² (voir L'ensemble R² : présentation )

 

On a bien pour deux vecteurs


 

la formule pour la somme :

 

 


 

 

 

Par ailleurs ces deux formules
 

et

 

peuvent s'expliquer par le calcul grâce à la relation de Chasles :

 

Propriété (relation de Chasles). Soient A et B deux points et I un troisième point quelconque. On a

Graphiquement, on peut l'interpréter en disant que pour aller de A à B, on peut passer par le point I

42.png

Démonstration.  C'est facile à voir puisque  

et

Ainsi  


puis

 

 

A suivre...

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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28 décembre 2013 6 28 /12 /décembre /2013 12:00

Pour la définition et notation | | "valeur absolue", on pourra se référer à Valeur absolue

 

Fonction du type g(x)=|ax+b|

Exemple. g(x)=|2x-5|

Par définition de la valeur absolue :

  • si (2x-5)<0, g(x)=-(2x-5)=-2x+5 et
  • si  (2x-5)>0, alors g(x)=-(2x-5), tandis que
  • si 2x-5=0, g(x)=0.


2x-5=0 ⟺ 2x=5 ⟺ x=2,5
Comme la fonction affine x ⟼ 2x-5 est croissante (son coefficient directeur est 2>0), on en déduit aussi que

  • 2x-5<0 ⟺ x<2,5
  • 2x-5>0 ⟺ x>2,5


On peut donc en déduire que

  • g(x)=-2x+5 si x<2,5
  • g(2,5)=0
  • g(x)= 2x-5 si x>2,5

Ci-dessous une représentation graphique de g


 

Propriété.    Si a et b sont des réels, aétant non nul,  alors en notant g(x)=|ax+b| :

  • Si a>0 :
    • g(x)=-ax-b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=ax+b si x>-b/a
  • Si a<0 :
    • g(x)=ax+b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=-ax-b si x>-b/a

Démonstration. On procède comme dans l'exemple :

ax+b=0⟺ax=-b⟺x=-b/a


  • Si a>0 : x  ⟼ ax+b est strictement croissante
    • g(x)=-ax-b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=ax+b si x>-b/a
  • Si a<0 : x  ⟼ ax+b est strictement décroissante
    • g(x)=ax+b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=-ax-b si x>-b/a

FIN de la Preuve.

 

Remarques.

  1. g est donc définie par 2 formules, une pour x avant -b/a et une pour x après -b/a, mais en remplaçant x par -b/a, dans ces deux formules, on obtient 0. 
  2. Dans le cas où a=0 : g(x)=|b| définit est une fonction g constante.

 

Fonction du type f(x)=|ax+b|+cx+d

En appliquant ce qui précède, on a la propriété suivante

 

Propriété. Si a,b,c,d sont des réels avec a différent de 0, alors notons f la fonction définie par f(x)=

|ax+b|+cx+d : 

  • Si a>0 :
    • g(x)=(c-a)x+(d-b) si x<-b/a
    • g(-b/a)=-bc/a + d
    • g(x)=(c+a)x+(d+b) si x>-b/a
  • Si a<0 :
    • g(x)= (c+a)x+(d+b) si x<-b/a
    • g(-b/a)=-bc/a + d
    • g(x)=(c-a)x+(d-b) si x>-b/a

Exemple.  Soit f la fonction définie par f(x)=|-5x+8|-2x+1.

 

Alors -b/a=-8/-5=1,6 et

  • si x<1,6 : f(x)=(-2-5)x+(1+8)=-7x+9
  • si x=1,6 : f(x)=-2×1,6+1=-3,2+1=-2,2
  • si x>1,6 : f(x)=(-2+5)x+(1-8)=3x-7

Voici une repésentation graphique :

Remarques :

  1. La fonction f est affine par morceaux : les deux "morceaux" de f sont des fonctions affines : x⟼ (c-a)x+(d-b) et x⟼ (c-a)x+(d-b)
  2. Ces deux morceaux se recollent parfaitement, puisque si'lon remplace x par -b/a dans ces deux formules affines, on obtient le même nombre -bc/a + d. f est continue.

Question. Toute fonction affine par morceau, en deux morceaux, continue, peut-elle être obtenue de la sorte ? Autrment dit, peut-on l'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d pour des nombres a,b,c,d à déterminer ?

La réponse prochainement....

 

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25 décembre 2013 3 25 /12 /décembre /2013 12:00

Nous avons vu dans Centre de gravité d'un triangle que les trois médianes d'un triangle sont concourantes, en un point appelé centre de gravité. Au lycée, avec l'utilisation des vecteurs (voir ici), cette propriété se démontre très rapidement comme nous allons le voir.

 

Considérons un triangle ABC, nommons I millieu de [BC]. On a alors ( on peut le prouver en utilisant les coordonnées du milieu d'un segment par exemple)

 


20-copie-2

 

 

 

Nommons G le point tel que

C'est un point de la médiane (AI).

Alors on a en utilisant la relation de Chasles,

 



 

 


Or sur le point I, on a

Ainsi

Mais comme

on a (à vous de faire le calcul, ou bien croyez-moi)  

Donc

G est donc un point satisfaisant la relation :

dont on voit qu'elle est "symétrique" en A, B, et C...

 

Montrons que G est un point de la médiane (CK) issue de C passant par le milieu K de [AB].

 

 

On en tire

Mais

Alors

d'où

Ainsi K est un point de la droite (CG), ou plutôt G est un point de la droite (CK).

 

De même G est un point de (BJ) la médiane issue de B.

 

G est donc un point appartenant aux trois médianes.

21-copie-1.png

 

Remarques.

  • G est comme le prouve la dernière égalité, le seul point vérifiant 
  • On aurait pu définir G comme ceci directement, et avoir une démonstration encore plus courte. Il aurait juste suffit de montrer que G appaetenait à (AI), à (BJ) et à (CK).
  • On aurait pu faire une autre  démonstration, en considérant G comme point d'intersection de (AI) et (BJ) au départ, c'est à dire tel que
    avec α et β réels. Et il aurait fallu montrer dans un premier temps que α=2/3 et β=2/3. De même on auarit montré que le point d'intersection de (AI) et (CK) était placé au même endroit que G sur [AI], et donc qu'il coïnciderait avec G.

Dans tous les cas cette preuve est plus simple que celle utilisée dans Centre de gravité d'un triangle où l'on utilise les aires de triangles, mais qui manque de rigueur, car on utilise des partages d'aires, c'est parlant visuellement, mais on ne démontre pas de résultats liés aux aires. Que signifie "partager une aire" ? Que signifie "aire" ?

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Published by Maths_Buchwald - dans Triangles
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24 décembre 2013 2 24 /12 /décembre /2013 12:00

Nous avons vu dans Suites arithmétiques (somme (1)) : anecdote de Gauss comment calculer la somme 1+2+.....+n. On a

 

Remarque. En utilisant la notation Σ,  on écrit plutôt

 

 

Considérons maintenant une suite arithmétique quelconque (an), de terme initial a0 et de raison r. D'après ceci , pour tout entier naturel k, on a 

 

ak=a0+kr

 

Prenons un entier n>0 et notons Sn la somme des termes de la suite (an) pour les indices allant de 0 à n (il s'agit de la somme des (n+1) premiers termes), c'est à dire :


 

k est un entier entre 0 et n.

 

Alors on a

 

Dans cette somme il y a n termes entre parenthèses et a0 seul en début d'expression.

On en déduit en retirant les parenthèses que

 

 

 

Remarque. En utilisant la notation Σ,  et l'associativité de l'addition ( a+(b+c)=(a+b)+c ), à la troisième égalité ci-dessous, on aurait noté ces calculs de la manière suivante :

 


 


Dans tous les cas, nous avons la formule suivante :

 

Propriété. Si (an) est une suite arithmétique, de terme initial a0 et de raison r, alors

 

 

 

c'est à dire

 

 

 

 

 

A suivre ...... Somme des premiers termes d'une suite géométrique

 

 

 

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22 décembre 2013 7 22 /12 /décembre /2013 17:10

Définition et notation

La valeur absolue. Au collège, on l'appelle la distance à zéro d'un nombre. Si un nombre est positif, sa valeur absolue est égale à ce nombre, s'il est négatif, c'est l'opposé de ce nombre. 

 

OA=5 et OA'=5 aussi.

 

La valeur absolue d'un nombre est donc un nombre positif.

 

Exemples.

  • La valeur absolue de -5 est 5.
  • La valeur absolue de 12,3 est 12,3.
  • la valeur absolue de 0 est 0.

On note |-5| la valeur absolue de 5.

On note |x| la valeur absolue de x.

Quelques propriétés

Propriété 1. Si a est un nombre positif ou nul, et x un nombre réel, alors |ax|=a|x|.

 

Démonstration. En effet a étant positif, ax et x ont le même signe, peu importe celui de x :

  • si x>0, ax>0 et |ax|=ax=a|x|
  • si x<0, ax<0 et |ax|=-ax=a(-x)=a|x|
  • si x=0, ax=0 donc |ax|=0=a|0|=a|x|

Fin de la preuve.

 

Propriété 2.Si x est un nombre réel, alors |x|=|-x|.

 

Démonstration.

  • Si x est nul, pas de problème car 0=-0.
  • Si x<0, |x|=-x et -x>0 donc |-x|=-x aussi. Donc |-x|=|x|
  • Si x>0, |x|=x et -x<0  donc |-x|=-(-x)=x aussi. Donc |-x|=|x|

Fin de la preuve.



 

Propriété 3. Si x et y sont deux nombres réels, alors |xy|=|x| |y| .

 

Démonstration. Si x ou y est nul, il n'y arien à démontrer car xy=0 et |x| |y| = 0 car |x|=0 ou |y| = 0. Sinon, on peut faire un tableau avec les 4 possibilités suivant les signes de x et y :

 

  x>0 x<0
y>0 xy>0 donc |xy|=|x||y| xy<0 donc |xy|=-xy = |x||y|
y<0 xy<0 donc |xy|=-xy = x(-y)= |x||y| xy>0 donc |xy|=|x||y|=|-x||-y|


 

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20 décembre 2013 5 20 /12 /décembre /2013 12:40

La somme d'une famille

 

La lettre grecque Σ se lit sigma.

 

Elle sert en maths pour noter des sommes de nombres. Nous disposons déjà du symbole "+" pour cela, alors à quoi sert Σ ? Pas à calculer en tout cas ! On l'utilise pour raccourcir une écriture sans avoir à répéter certaines similarités des termes dont on veut faire la somme. 

 

Par exemple :

 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

peut s'écrire plus brièvement


Par exemple :

2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²+11²+12²+13²+14²

peut s'écrire


Comment cela fonctionne-t-il ?

Pour bien comprendre, il faut regarder plusieurs choses :

  • sous le Σ, il y a toujours une lettre, dans les exemples i et j suivie du symbole "=" puis d'un nombre entier. Par exemple : "i=0" ou "j=12", cette lettre s'appelle l'indice (du terme général) de la somme. Le nombre entier est appelé indice de départ.
  • Les termes de la sommes sont situés à droite du Σ. Ils constituent une famille d'éléments indéxée. Par exemple pour la première sommel le terme général la famile est notée "i", pour la seconde il est noté "j²". leurs indices respectifs sont i et j. 
  • En haut du Σ, on trouve un entier supérieur ou égale à l'indice de départ : l'indice de fin. Dans nos exemples ce sont 10 et 14.

Pour lire la première somme, on dit : "somme des "i", pour i allant de 1 à 10".

Pour lire la seconde, on dit : "somme des "j au carré", pour j allant de 2 à 14".

 

Il suffit de remplacer l'indice du terme générale par tous les entiers compris entre l'indice de départ et l'indice de fin et d'en faire la somme.

 

Par exemple développons la somme ci-dessous :


 

 

 

Si l'indice ne figure pas dans le terme général, cela ne signifie pas qu'il n'y a rien à sommer. Par exemple :


Tous les termes sont égaux à 2, mais ils sont numérotés de 0 à 99, il y en a donc 100.

 

 Des questions

Pourriez-vous développer les sommes ci-dessous

 

Somme N°1
Somme N°2
Somme N°3
Somme N°4




Les réponses le 9/01/14, n'hésitez pas à laisser des commentaires d'ici là.......

 


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19 décembre 2013 4 19 /12 /décembre /2013 21:43

 

Cet article a été déplacé ici

http://3.bp.blogspot.com/-Td7BRiX675E/VCVf1ZaqXMI/AAAAAAAAAB4/mgdTZv0ofMc/s1600/ent%25C3%25AAte2.png

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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