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24 mai 2011 2 24 /05 /mai /2011 12:00

 

Dans le jeu Portal vous avez un fusil permettant de créer des connexions dans l'espace :

  1. On fait un premier portail (forme arrondi sur un mur, le sol ou le plafond)
  2. On fait un dexième portail (ayant la même forme sur un mur, le sol ou le plafond)
  3. Si vous passer dans le premier portail, vous ressortez par le deuxième.

L'action se déroule dans un univers futuriste.

 

Mathématiquement, cela revient à faire une manipulation topologique (un quotient ...). L'analogie que je vous propose est la suivante, c'est comme si vous vous déplaciez sur une feuille de papier, les deux portails sont remplacés par des segments, et on les colle ensemble. En se déplaçant sur la feuille, si l'on arrive sur un segment on arrive donc directment sur l'autre segment.

On peut aussi comparer cela aux phénomènes de téléportaions dans les jeux en 2D comme Mario Bros (articles 1 et 2) ou Fantazy Zone (articles 1 et 2).

 

Ci-dessous des vidéos de Portal et Portal 2 :

 

 

 

 

 

 

Ces jeu ont été réalisés par Valve Software.

 

Voir aussi l'article Wikipedia : ici

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23 mai 2011 1 23 /05 /mai /2011 12:00

Cet article suit Nombres premiers : Qu'est-ce que c'est ?

 

Il est difficile de reconnaître un nombre premier. Le crible d'Erastohène permet simplement avec un peu de calcul mental de trouver les premiers nombres premiers. Quand il est programmé, on peut dresser une liste plus grande.

 

Principe :

  • On note les nombres entiers dans l'ordre croissant en commençant par 1 (par exemple jusqu'à 120).
  • Le nombre 1 ne compte pas.
  • On entoure le nombre 2, puis on barre tous ses autres multiples : 4,6,8,10,12 ...., 120
  • Après 2 le prochain nombre non entouré est 3, ce nombre est premier car il n'est pas divisible par 2 (parmi les naturels il l'est uniquement par 1 et 3). On barre tous les multiples autres multiples de 3 : 6,9,15,...,117
  • Après 3, le prochain nombre non entouré est 5, ce nombre est premier car il n'est pas divisible par 2 et 3 (parmi les naturels il l'est uniquement par 1 et 5, s'il était divisible par 4, il le serait par 2 car 4 est un multiple de 2). On barre tous les multiples autres multiples de 5 : 15,25,35 ,...,115
  • .....
  • A chaque fois, après avoir barré tous les mutliple du dernier nombre entouré, on entoure le prochain nombre ni barré ni entouré et on recommence jusqu'à arriver à 120.

Les nombres premiers entre 1 et 120 sont les nombres entourés.

 

Voici une animation provenant de Wikipedia  illustrant le crible d'Erastothène (Primer numbers signifie nombres premiers) :

 

New Animation Sieve of Eratosthenes

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22 mai 2011 7 22 /05 /mai /2011 12:00

Cet article suit celui-ci.

 

Dans cet article je montre comment construire les nombre rationnels à la règle et au compas. On dira alors que les nombres rationnels sont constructibles : voir ici.

 

Un rationnel est un nombre de la forme p/q (une fraction), où p et q sont des nombres entiers relatifs et q n'est pas zéro.

 

Par exemple, je commence par construire 5/7.

 

http://imageshack.us/m/51/9940/constrrationnels0.png

 

Le point d'abscisse 7 et d'ordonnée 5 est constructible.

 

En effet les entiers sont constructibles (faire des cercles de rayons 1 unité sur les axes, puis tracer des perpendiculaires, les perpendiculaires sont constructibles à la règle et au compas puisque l'on peut tracer des médiatrices voir ici)

 

Ensuite je trace le segment [AV]. La perpendiculaire à l'axe des ordonnées passant par J coupe le semgent [AV] en Z. Comme précédemment j'utilise des cercles pour construire la parallèle, ABWJ étant un carré de côté 1. Je ne détaille pas plus la construction, voir ci-dessous :

 

http://imageshack.us/m/854/6998/constrrationnels3.png

Je trace ensuite la perpendiculaire (construction non expliquée ici) à l'axe des abscisses passant par Z. Elle coupe l'axe en A1 d'abscisse α

 

On obtient une configuration de Thalès :

 

http://imageshack.us/m/19/7702/constrrationnels4.png

 

On en déduit l'égalité suivante puis la valeur de α

thales_rationnel.png

Le nombre 7/5 a donc été construit.

 

De la même façon, en remplaçant 7 par p et 5 par q on peut construire la fraction p/q.

 

N'hésitez pas à laisser des commentaires, puisque pour aller à l'essentiel, des passages n'ont pas été expliqués.

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21 mai 2011 6 21 /05 /mai /2011 12:00

Cet article parle du travail de l'artiste Français Etienne Cliquet. Voir ici.

 

 

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20 mai 2011 5 20 /05 /mai /2011 12:00

Précédemment : 

Ajouter plusieurs fois la même matrice

 

Je vais faire la somme de 4 fois la même matrice  ci-dessous

matr_1.png

On a

matr1 times4

D'où

matr1_times4_2.png

 

Plus généralement, si A est une matrice 

matA-copie-1.png

et n est un entier, on définit la multiplication nA par :

matnA.png

Plus généralement

matlambdaA.png

 

A suivre ....

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18 mai 2011 3 18 /05 /mai /2011 12:00

Suite de Nombre d'arêtes d'un graphe complet

 

Si un graphe complet a 50 sommets, combien a-t-il d'arêtes ?

 

Pour chacun des 50 sommets, il y a 49 sommets auquels il est joint par une arête. Cela fait 49 arêtes ayant ce sommet comme extrémité. Chacune des ces arêtes a un autre sommet comme extrémité.

 

Donc cela fait 50 fois 49 arêtes et chaque arête a été compté deux fois. Le nombre exact d'arête est donc

nb_aretes.png

Cela fait  1225 arêtes.

 

Pour un graphe complet à n côtés, on trouve de même que le nombre d'arêtes est

nb_aretes_n.png

 

C'est le même raisonnement qui a été utilisé dans Nombre de diagonales d'un polygone (3) . De la même façon, on en déduit que n(n-1) est un nombre pair (quelque soit l'entier n).

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17 mai 2011 2 17 /05 /mai /2011 22:00

On dit qu'un nombre entier naturel est premier s'il n'est divisible que par lui-même et par 1.

 

Pour la notion de divisibilité : Divisibilité

 

Par exemple, le nombre 2 est premier. Le nombre 3 est premier également.

 

Le nombre 4 n'est pas premier car il est divisible par 2 : 2×2=4.

 

Le nombre 5 est premier car 1 le divise (d'ailleurs 1 divise tous les entiers), 5 le divise, mais ni 1, ni 2, ni 3, ni 4 ne le divise. Les entiers plus grands que 5 ne peuvent pas le diviser.

 

Le nombre 6 n'est pas divisible car il est divisible par 2 : 2×3=6.

 

Quels sont les 20 premiers nombres premiers ? Combien y a-t-il de nombres premiers ?

 

 

A suivre ....  Crible d'Erastothène

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16 mai 2011 1 16 /05 /mai /2011 12:00

Suite de Doctor Who : 42

 

 

Trouver le prochain nombre de la suite 313, 331, 367, ... ?

 

Comment trouver le nombre suivant ? Là comme çà je n'ai pas vraiment d'idée. Ce sont des nombres impairs. Ils sont croissants. Il ne sont pas multiples de 5 (dernier chiffre différent de 0 ou 5) , ni de 3 ou de 9 (somme des chiffres respectives 7, 7 et 16). Ce ne sont pas non plus des mutliples de 11 (à voir dans un prochain article).

 

Je vais regarder à nouveau l'épisode pour voir comment le Doctor trouve la réponse :

 

"379 ! C'est une suite de nombre premiers heureux. 379 !

...

 Tout nombre qui réduit à un seul nombre quand on fait la somme des carrés de ses chiffres et finit par atteindre 1 en répétant ce processus, et un nombre heureux. Un heureux premier est un nombre à la fois heureux et premier. 

...

On leur simplifie vraiment tout. Ils n'enseignent plus les mathématiques récréatives ? "

 

 

 

A suivre pour en savoir plus....

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15 mai 2011 7 15 /05 /mai /2011 12:00

Cet article suit Représentation géométrique d'un nombre entier relatif .

 

droite_entre_entiers-copie-2.png

 

Entre A (0) et B (1) quels nombres peut-on représenter ?

 

Je coupe le segment [AB] en 6 parties égales :

 

zerounen6.png

Alors j'ai 5 nouveaux points C, D, G, F, E. Comme il est sous-entendu, si les les abscisses de deux points ont un certain écart et que deux points ont des absisses de même différence, alors ils doivent avoir le même écart, on dit que la représentation est isométrique. Inversement, si deux points forment un segment de même longueur que deux autres points, les abscisses respectives pour ces 2 paires ont le même écart. Ici, comme AC=CD=DG=GF=FE=EB, et que AC+CD+DG+GF+GE+EB=1, on en déduit que les six segment ont pour longueur AB/6.

Donc C (1/6), D (2/6), G (3/6), F (4/6), E (5/6).

 

Les points que j'ai construits représentent donc des fractions. Une fraction est aussi appelé un nombre rationnel. Les nombres entiers en font partie, puisqu'il suffit de choisir 1 comme dénominateur. 

 

N'importe quelle fraction peut-être représentée de la sorte. Si p est un entier positif, et q un entier positif non nul, alors, on peut placer un point ayant pour abscisse p/q. Il suffit que partager en q partie égales le segment [AP] où P (p).

On obtient les fractions négatives de même à gauche de l'origine.

 

Remarque : Tous les nombres rationnels (ou fractions) peuvent être représentés géométriquement, mais je n'ai pas expliqué comment les construire, comment les placer avec précision. Cela est possible pour les nombres rationnels mais ne l'est pas pour tous les nombres. J'y reviendrai plus tard.

 

Questions :

  • Sur la droite orientée, on peut placer tous les nombres rationnels. Mais reste-t-il encore de la place pour d'autres types de nombres ?

 

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14 mai 2011 6 14 /05 /mai /2011 12:00
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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