Triangles

Mercredi 25 décembre 2013 3 25 /12 /Déc /2013 12:00

Nous avons vu dans Centre de gravité d'un triangle que les trois médianes d'un triangle sont concourantes, en un point appelé centre de gravité. Au lycée, avec l'utilisation des vecteurs (voir ici), cette propriété se démontre très rapidement comme nous allons le voir.

 

Considérons un triangle ABC, nommons I millieu de [BC]. On a alors ( on peut le prouver en utilisant les coordonnées du milieu d'un segment par exemple)

 


20-copie-2

 

 

 

Nommons G le point tel que

C'est un point de la médiane (AI).

Alors on a en utilisant la relation de Chasles,

 



 

 


Or sur le point I, on a

Ainsi

Mais comme

on a (à vous de faire le calcul, ou bien croyez-moi)  

Donc

G est donc un point satisfaisant la relation :

dont on voit qu'elle est "symétrique" en A, B, et C...

 

Montrons que G est un point de la médiane (CK) issue de C passant par le milieu K de [AB].

 

 

On en tire

Mais

Alors

d'où

Ainsi K est un point de la droite (CG), ou plutôt G est un point de la droite (CK).

 

De même G est un point de (BJ) la médiane issue de B.

 

G est donc un point appartenant aux trois médianes.

21-copie-1.png

 

Remarques.

  • G est comme le prouve la dernière égalité, le seul point vérifiant 
  • On aurait pu définir G comme ceci directement, et avoir une démonstration encore plus courte. Il aurait juste suffit de montrer que G appaetenait à (AI), à (BJ) et à (CK).
  • On aurait pu faire une autre  démonstration, en considérant G comme point d'intersection de (AI) et (BJ) au départ, c'est à dire tel que
    avec α et β réels. Et il aurait fallu montrer dans un premier temps que α=2/3 et β=2/3. De même on auarit montré que le point d'intersection de (AI) et (CK) était placé au même endroit que G sur [AI], et donc qu'il coïnciderait avec G.

Dans tous les cas cette preuve est plus simple que celle utilisée dans Centre de gravité d'un triangle où l'on utilise les aires de triangles, mais qui manque de rigueur, car on utilise des partages d'aires, c'est parlant visuellement, mais on ne démontre pas de résultats liés aux aires. Que signifie "partager une aire" ? Que signifie "aire" ?

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Triangles - Communauté : Mathématiques
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Jeudi 19 décembre 2013 4 19 /12 /Déc /2013 21:43

 

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Dimanche 17 juillet 2011 7 17 /07 /Juil /2011 12:00

Voir Problème de géométrie Japonais

 

Ici je réponds à la question 2 :


Etant donné un triangle équilatéral de côté 1 comme dans la figure ci-dessous, tracer trois droites vers le centre, construire trois triangles égaux et leur cercles inscrits. Montrer que le diamètre des cercles est 0,26794.jap1_qu1.png

Réponse :

1) Construction du centre et partage du triangle


    Dans un triangle, les médianes se coupent en un point appelé le centre de gravité. Dans un triangle équilatéral, les médianes sont les axes de symétrie, le centre de gravité peut alors simplement être appelé centre du triangle. Ce point est équidistant des trois sommets du triangle équilatéral. En reliant les sommets du triangle au centre, on obtient trois triangles superposables. Voir aussi 1) Calcul de HB dans le triangle BCD de Problème de géométrie Japonais (Réponse 1) : Volume d'un tetraèdre régulier


    Par ailleurs, dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi les bissectrices. 

 

2) Construction des trois cercles

 

Les trois cercles sont inscrits dans les trois triangles. Ils ont exactement un point de contact avec chaque côté de leur triangle. Je vais expliquer rapidement comment les construire :

a) Construire deux bissectrices

b) elles se coupent en un point qui sera le centre du cercle

c) choisir un côté du triangle et tracer la perpendiculaire à ce côté passant par ce centre

d) la perpendiculaire coupe le côté en un point qui sera le point de contact du cercle avec le côté

e) tracer le cercle

 

Plus d'explications plus tard

 

 

A suivre ...

 

 


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Vendredi 15 juillet 2011 5 15 /07 /Juil /2011 12:00

Je réponds à la question poséte dans Quadrilatère des milieux des côtés

 

A partir d'un quadrilatère (en noir), j'ai formé un quadrilatère dont sommets sont les milieux des côtés (en rouge), les côtés reliant les milieux étant sur des côtés consécutifs du premier quadrilatère.

 

varignon1.png varignon2.png 
 Exemple 1
 Exemple 2

 

Quel est la particularité du nouveau quadrilatère obtenu ?

 

Réponse. Pour répondre à cette question, je vais utiliser la propriété suivante

Propriété.  Si un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés d'un triangle, alors ce segment est parallèle au troisième côté du triangle et mesure la moitié de celui-ci.

Je trace les diagonales pour faire apparaître deux triangles dans le quadrilatère ABCD de départ (en couleur violette sur la figure ci-dessous).

varignon1-copie-1.png  varignon2-copie-1.png
Cas où ABCD n'est pas "croisé" Cas où ABCD est "croisé"


Dans le triangle ABD, E et F étant les milieux respectifs de [AB] et de [AD], le segment [EF] est parallèle à [BD]. De plus EF=BD/2.
Dans le triangle BDC, H et G étant les milieux respectifs de [BC] et de [DC], le segment [GH] est parallèle à [BD]. De plus HG=BD/2.
Comme [EF]//[BD] et [HG]//[BD], on en déduit que [EF] et [HG] sont eux-même parallèles entre eux.


De la même façon, dans le triangle ABC, on montre que [EH]//[AC] avec EH=AC/2. Dans ADC, on a que [FG]//[AC] avec FG=AC/2.

Ainsi le quadrilatère EFGH possède les propriétés suivantes :

  • [EF]//[HG]
  • [FG]//[EH]

C'est donc un parallélograme. De plus les côtés ont la même mesure que la moitié des diagonales du quadrilatère de départ. 

C'est le théorème de Varignon

Théorème. Si l'on joint les milieux des côtés d'un quadrilatère par des segments, les segments obtenus forment un parallèlogramme.

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Jeudi 16 juin 2011 4 16 /06 /Juin /2011 12:00

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