Triangles

Mercredi 25 décembre 3 25 /12 /Déc 12:00

Nous avons vu dans Centre de gravité d'un triangle que les trois médianes d'un triangle sont concourantes, en un point appelé centre de gravité. Au lycée, avec l'utilisation des vecteurs (voir ici), cette propriété se démontre très rapidement comme nous allons le voir.

 

Considérons un triangle ABC, nommons I millieu de [BC]. On a alors ( on peut le prouver en utilisant les coordonnées du milieu d'un segment par exemple)

 


20-copie-2

 

 

 

Nommons G le point tel que

C'est un point de la médiane (AI).

Alors on a en utilisant la relation de Chasles,

 



 

 


Or sur le point I, on a

Ainsi

Mais comme

on a (à vous de faire le calcul, ou bien croyez-moi)  

Donc

G est donc un point satisfaisant la relation :

dont on voit qu'elle est "symétrique" en A, B, et C...

 

Montrons que G est un point de la médiane (CK) issue de C passant par le milieu K de [AB].

 

 

On en tire

Mais

Alors

d'où

Ainsi K est un point de la droite (CG), ou plutôt G est un point de la droite (CK).

 

De même G est un point de (BJ) la médiane issue de B.

 

G est donc un point appartenant aux trois médianes.

21-copie-1.png

 

Remarques.

  • G est comme le prouve la dernière égalité, le seul point vérifiant 
  • On aurait pu définir G comme ceci directement, et avoir une démonstration encore plus courte. Il aurait juste suffit de montrer que G appaetenait à (AI), à (BJ) et à (CK).
  • On aurait pu faire une autre  démonstration, en considérant G comme point d'intersection de (AI) et (BJ) au départ, c'est à dire tel que
    avec α et β réels. Et il aurait fallu montrer dans un premier temps que α=2/3 et β=2/3. De même on auarit montré que le point d'intersection de (AI) et (CK) était placé au même endroit que G sur [AI], et donc qu'il coïnciderait avec G.

Dans tous les cas cette preuve est plus simple que celle utilisée dans Centre de gravité d'un triangle où l'on utilise les aires de triangles, mais qui manque de rigueur, car on utilise des partages d'aires, c'est parlant visuellement, mais on ne démontre pas de résultats liés aux aires. Que signifie "partager une aire" ? Que signifie "aire" ?

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Triangles - Communauté : Mathématiques
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Jeudi 19 décembre 4 19 /12 /Déc 21:43

Médianes

Définition. Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

 

Pour éviter toute confusion dans la suite, j’appellerai segment médian, un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé.

Sur la figure ci-dessous, [AI] est un segment médian et (AI) est la médiane correspondante.

 

20-copie-2

 

 

Nous allons démontrer avec les méthodes  classiques (de niveau collège) que les trois
médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité.


Au niveau lycée, avec les vecteurs, la démonstration est beaucoup.... plus rapide.

 



21-copie-1.png Pour montrer que les trois droites passent par un même point, nous allons montrer que les points d'intersections de (AI) et (BJ), et de (AI) et (CG) sont confondus.

 

Pour cela, nous allons noter G le point d'intersection de (AI) et (BJ). Nous allons montrer que

            AG=2/3 AI et que BG=2/3 BJ

Avec un raisonnement identique, c'est à dire juste en changeant les lettres, on obtient que si G' est le point d'intersection de (AI) et (CK), alors on a AG'=2/3 AI et CG'=2/3 CK. De la première égalité, on a prouve que G=G', soit que les médianes concourent et de la seconde que leur point d'intersection G se trouve au deux tiers des médianes en partant des sommets. 

 

 

Pour le lecteur non convaincu que ce qui sera démontré pour G le sera pour G', la preuve qui suit devrait l'en convaincre. En effet, on pourrait tout réécrire en remplaçant B par C, J par K et G par G'.

 

Pour montrer le fait encadré, commençons par montrer qu'une médiane partage l'aire en 2 de manière égale

 

Partage d'aire en deux

Propriété. Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire, la moitié de l’aire du triangle.

 

Démonstration. Les triangles ABI et ACI ont pour aires :

 


22.png Comme IB=IC=AB/2, elles sont toutes deux la moitié de l'aire de ABC d'où le résultat.

 

Découpages du triangle

Notons
La propriété précédente appliquée à la médiane (AI) puis à la médiane (BJ) nous permet d'obtenir les découpages d'aire comme sur les figures ci-dessous :


Avec (AI)

 

23

Avec (BJ)

24.png

De ces deux partages, on obtient que

 

Notons maintenant G le point d'intersection des médianes (AI) et (BJ). On peut aussi partager les triangles BGC et CGA en deux fois deux triangles d'aires aigales comme ci-dessous : 

25.png Or

 

On en déduit que 2a+a'=2a'+a d'où a=a'. Donc l'aire de GBC vaut 3a, la moitié de l'aire totale :

Ainsi a vaut 1/3 de l'aire totale.

 

G est aux deux-tiers de la médiane et c'est fini !

On vient de prouver que l'aire de GBC vaut un tiers de celle de ABC. Déduisons-en que AG=2/3 AI et terminons le démonstration.

 

Les hauteurs des triangles GBC et ABC sont [GP] et [AH] (voir ci-desous)

26.png

 

Or

D'où GP=1/3 AH ou encore GP/AH=1/3.

 

Comme [GP] et [HP] sont perpendiculaires à [BC], ces segments sont parallèles. Donc d'après le théorème connu sous le nom du théorème de Thalès :


On en déduit que IG=1/3 IA puis que AG=2/3 AI, ce que nous voulions montrer.

 


 

FIN DE LA DEMONSTRATION

 

 

21-copie-1

 

Si l'on découpe un triangle dans un morceau de carton, et que l'on essaye de le faire tenir sur un doigt sur centre de gravité qu'il doit être posé.

 

Dans le même ordre d'idées, lire aussi :


Par Maths_Buchwald - Publié dans : Triangles - Communauté : Mathématiques
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Dimanche 17 juillet 7 17 /07 /Juil 12:00

Voir Problème de géométrie Japonais

 

Ici je réponds à la question 2 :


Etant donné un triangle équilatéral de côté 1 comme dans la figure ci-dessous, tracer trois droites vers le centre, construire trois triangles égaux et leur cercles inscrits. Montrer que le diamètre des cercles est 0,26794.jap1_qu1.png

Réponse :

1) Construction du centre et partage du triangle


    Dans un triangle, les médianes se coupent en un point appelé le centre de gravité. Dans un triangle équilatéral, les médianes sont les axes de symétrie, le centre de gravité peut alors simplement être appelé centre du triangle. Ce point est équidistant des trois sommets du triangle équilatéral. En reliant les sommets du triangle au centre, on obtient trois triangles superposables. Voir aussi 1) Calcul de HB dans le triangle BCD de Problème de géométrie Japonais (Réponse 1) : Volume d'un tetraèdre régulier


    Par ailleurs, dans un triangle équilatéral, les médianes sont aussi les bissectrices. 

 

2) Construction des trois cercles

 

Les trois cercles sont inscrits dans les trois triangles. Ils ont exactement un point de contact avec chaque côté de leur triangle. Je vais expliquer rapidement comment les construire :

a) Construire deux bissectrices

b) elles se coupent en un point qui sera le centre du cercle

c) choisir un côté du triangle et tracer la perpendiculaire à ce côté passant par ce centre

d) la perpendiculaire coupe le côté en un point qui sera le point de contact du cercle avec le côté

e) tracer le cercle

 

Plus d'explications plus tard

 

 

A suivre ...

 

 


Par Maths_Buchwald - Publié dans : Triangles - Communauté : Mathématiques
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Vendredi 15 juillet 5 15 /07 /Juil 12:00

Je réponds à la question poséte dans Quadrilatère des milieux des côtés

 

A partir d'un quadrilatère (en noir), j'ai formé un quadrilatère dont sommets sont les milieux des côtés (en rouge), les côtés reliant les milieux étant sur des côtés consécutifs du premier quadrilatère.

 

varignon1.png varignon2.png 
 Exemple 1
 Exemple 2

 

Quel est la particularité du nouveau quadrilatère obtenu ?

 

Réponse. Pour répondre à cette question, je vais utiliser la propriété suivante

Propriété.  Si un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés d'un triangle, alors ce segment est parallèle au troisième côté du triangle et mesure la moitié de celui-ci.

Je trace les diagonales pour faire apparaître deux triangles dans le quadrilatère ABCD de départ (en couleur violette sur la figure ci-dessous).

varignon1-copie-1.png  varignon2-copie-1.png
Cas où ABCD n'est pas "croisé" Cas où ABCD est "croisé"


Dans le triangle ABD, E et F étant les milieux respectifs de [AB] et de [AD], le segment [EF] est parallèle à [BD]. De plus EF=BD/2.
Dans le triangle BDC, H et G étant les milieux respectifs de [BC] et de [DC], le segment [GH] est parallèle à [BD]. De plus HG=BD/2.
Comme [EF]//[BD] et [HG]//[BD], on en déduit que [EF] et [HG] sont eux-même parallèles entre eux.


De la même façon, dans le triangle ABC, on montre que [EH]//[AC] avec EH=AC/2. Dans ADC, on a que [FG]//[AC] avec FG=AC/2.

Ainsi le quadrilatère EFGH possède les propriétés suivantes :

  • [EF]//[HG]
  • [FG]//[EH]

C'est donc un parallélograme. De plus les côtés ont la même mesure que la moitié des diagonales du quadrilatère de départ. 

C'est le théorème de Varignon

Théorème. Si l'on joint les milieux des côtés d'un quadrilatère par des segments, les segments obtenus forment un parallèlogramme.

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Triangles - Communauté : Mathématiques
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Jeudi 16 juin 4 16 /06 /Juin 12:00

 

Ci-dessous, un triangle équilatéral dont un côté mesure c unité de longueur :

equilateral.png

Comment calculer son aire ?

 

La hauteur issue de E est la droite perpendiculaire à [GF] passant par E. La médiatrice du segment [GF] passe elle aussi par E puisque EF=EG (voir Médiatrices et cercle circonscrit ). Or il n'y a qu'une seule droite perpendiculaire à [FG] passant par E (c'est un axiome de la géométrie classique ... j'en parlerai prochianement), ce ne peut-être que la médiatrice. Donc cette hauteur est la médiatrice de [GF]. On en déduit que celle-ci passe par le milieu de [FG]. Voir ci-dessous :

equilateral_hauteur.png

L'aire du triangle est donnée par la formule :

 

Pour calculer EI, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle EIG rectangle en G :

 

EI²+IG²=EG²

On obtient succèssivement

 

 

Donc l'aire vaut unité de longueur

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Triangles - Communauté : Mathématiques
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