Nombre d'or

Samedi 19 mars 6 19 /03 /Mars 12:00

Voici un triangle déjà vu dans Triangles particuliers (2)

http://img.over-blog.com/282x300/3/62/62/69/polygone/t2.png

Traçons la bissectrice d'un des deux angles de 72° :

tri or1

Un simple calcul montre que la bissectrice partage le triangle en 2 triangles isocèles dont les angles sont respectivement : 36 - 36 - 108 et 72 - 72 - 36. On reconnait le triangle de départ en plus petit et le triangle de Triangles particuliers.

Sur le dessin les triangles DGE et EFD ont la même forme puisque les angles sont les mêmes.

tri_or2.png

Ainsi ED=GD=GF.

 

Notons a=FG et b=GE. Comme les triangles FGD et GDE ont la même forme, leurs côtés sont proportionnels. En particulier, on a :

FEED.png

soit

tri_or3.png

Cette équation est la même que dans Rectangle d'or . Cette équation a déjà été résolue dans A la recherche du nombre d'or (Episode 11 : la valeur exacte) :

abnbor-copie-1.png

Le quotient a/b est égal au nombre d'or. On appelle le triangle 36-72-72 triangle d'or.

 

 

Pour voir l'ensemble des articles ayant un rapport avec le nombe d'or : ici.

t_or.png

 

 

 

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Nombre d'or - Communauté : Mathématiques
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Jeudi 23 décembre 4 23 /12 /Déc 14:45

La formule de Binet permet de calculer les termes de la suite de Fibonacci sans utiliser la récursivité : il est inutile de connaître les deux termes précédents pour trouver celui qui nous intéresse.

 

Voici cette formule :

binet-copie-2.png

On reconnait le nombre d'or et l'autre racine de l'équation a2=a+1 intervenant dans cette formule ($) :

nb_or_et_conj.png

Avec ces notations, la formule de Binet devient

binet2.png


 

Vérifions que cette formule est correcte par récurrence :

  • Initialisation :
    • Tout d'abord, F0 est bien égal à 0 car tout nombre à la puissance 0 vaut 1
    • F est égal à 1 comme on le voit à partir d'un calcul (attention au signe - devant les parenthèses)
  • Hérédité : Supposons la propriété suivante vraie pour un certain n : 
(HR) La formule de Binet est vraie pour le calcul de Fk où 0k<n+1

 

Je vais montrer que la formule de Binet est encore vraie pour n+1. On utilise la définition de la suite de Fibonacci, à savoir la formule de récurrence (*) :

fibo n

Avec l'utilisation des notations φ et ψ

 

frr1-copie-2.png

d'où puisque :

frr2-copie-1.png

 

on obtient successivement

 

frr3

Dans la dernière égalité, on a utilisé un développement et (HR) pour k=n et k=n+1. Ceci achève l'étape d'hérédité.

 

La formule de Binet est donc démontrée.

 

Remarque : Dans la phase d'initialisation, j'ai vérifié que la formule était valable pour les deux premiers termes de la suite de Fibonacci. En effet, la suite de Fibonacci est uniquement définie à partir de 2 termes et de la formule de récurrence (*).

 

On peut vérifier que ψ est donné par la formule ($) est la seconde solution de l'équation a2=a+1. Mais cela n'a pas servi dans les calculs de l'expliciter.

 

Dans cet article, je suis parti de la formule toute faite et j'ai simplement vérifié qu'elle fonctionnait. Plus tard, nous verrons comment cette formule a pu être découverte et comment cette méthode peut se généraliser. Par ailleurs, cela me permettra de monter un exercice (connu) aboutissant à la découverte de cette formule. J'aurai besoin d'utiliser les matrices pour faire tout çà et la lecture s'adressera cette fois-ci à un publique plus expérimenté. Néanmoins, les curieux y trouveront quelquechose.

 

A suivre ...

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Nombre d'or - Communauté : Mathématiques
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Samedi 18 décembre 6 18 /12 /Déc 14:43

La suite de Fibonacci est définie par 2 valeurs de départ :

fibo init

et une relation de récurence pour tout entier n supérieur ou égal à 2  

fibo n

Nous avons vu dans Suite de Fibonacci et tableur que bien qu'il soit facile de calculer les termes de la suite de Fibonacci avec un tableur, ce n'était pas satisfaisant car des erreurs de calculs arrivaient rapidement.

 

On peut écrire un algorithme puis le trauire en lagage machine. Ici, l'algorithme est traduit langage Python (logiciel avec lequel je viens juste de faire connaissance).

 


Algorithme

Fonction en Python

%commentaire% variable : n  (entrée)

 

On assigne à a la valeur 1

On assigne à b la valeur 1

On assigne à c la valeur 1

Si n=1 alors afficher la valeur de a

Sinon et si n=2 alors afficher la valuer de b

Sinon Tant que c<n-2 Faire

           on assigne à a la valeur b

           on assigne à b la valeur a+b

           on assigne à c la valeur c+1

afficher la valeur de a+b

 

def Fibo(n) :
    a,b,c=1,1,1
    if (n==1) :
        print(a)
    elif (n==2) :
        print(b)
    else :
        while (c<n-2) :
            a,b,c=b,a+b,c+1
        print(a+b)

 

Alors que le tableur nous donnait le faux résultat

1 304 969 544 928 660

pour le calcul du 74 ème terme de la suite de Fibonacci, 

on obtient ici en executant Fibo(74) :

1 304 969 544 928 657

Fibo(100) donne par exemple 

35 422 848 179 261 915 075

On peut aussi calculer le 1 000è terme de la suite de Fibonacci en moins d'une seconde grace à ce programme. (Essayez !) 

 

Complexité

 

Notre algotrithme n'utilise que 3 variables en mémoire a,b, et c. Mais comme avec le tableur, il y a 998 calculs si l'on veut le 1 000è terme.

Par définition la suite de Fibonacci est récursive donc on ne pourra pas créer de programme sauf si nous disposions d'une formule permettant de calculer directement le 1 000è terme sans avoir besoin des 999 précédents ! 

C'est que nous verrons avec la formule de Binet.

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Nombre d'or
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Jeudi 16 décembre 4 16 /12 /Déc 14:41

Pour savoir ce qu'est la suite de Fibonacci, on pourra commencer par :

 

Pour calculer les termes de la suite de Fibonacci, on peut utiliser un tableur : par exemple celui fourni par OpenOffice : calc (classeur).

 

On commence par entrer les deux premiers termes de la suite de Fibonacci :

fibo init

  inti_tab_fibo.png

 

Ensuite, il suffit de rentrer la formule de récurence (en bas à gauche) dans le tableau et d'étirer cette formule (vers le bas) :

fibo n   fomrule_fibo_tab.png

 

L'ordinateur calcule à notre place les termes de la suites de Fibonacci : 

etirement_fibo.png

Ainsi

 

- le 10 ème terme est 55

- le 20 ème terme est 6765

- le 30 ème terme est 832 040

 

Le nombre de chiffres augmente rapidement, et les calculs deviennent vite gros.

 

 

 

erreur_fibo.png

 

Celà génère des erreurs de calcul pour le logiciel dues aux arrondis avec les grands nombres (pour le logiciel) :

 

En effet

 

On voit bien que le calcul du 74 ème terme est faux rien qu'en regardant le chiffre des unités !

 

 

 

 

 

Nous verons plus tard :

 

  1. Un algorithme de programmation des termes de la suite de Fibonacci

 

  2. Une formule qui nous permettra de calculer les termes sans être obligé de connaître les précédents, d'où beaucoup moins de calcul pour l'odinateur

...........

 

A suivre

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Nombre d'or - Communauté : Mathématiques
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Mercredi 15 décembre 3 15 /12 /Déc 10:28

Dans  A la recherche du nombre d'or (Episode 6 : suite de Fibonacci) et dans A la recherche du nombre d'or (Episode 7 : Fibonacci et les lapins), je vous avais un peu parlé de la suite de Fibonacci.

 

Définition

 

La suite de Fibonacci est la suite de nombre

                                   1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Chaque terme se déduit des deux précédents en calculant leur somme.

Ainsi, on peut continuer la suite :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54

 

Définition formelle

 

Les deux premiers termes de la suite de Fibonacci sont

fibo_init.png

Pour tout entier n supérieur ou égale à 1, on pose :

fibo_n.png

La suite est bien définie, on dit qu'elle est définie par récurence. Je ne le prouverai pas car cela est ennuyeux. Vous pouvez le faire vous même si vous connaissez les raisonnement par récurence. Cela consiste à prouver clairement que pour tout m le terme d'indice m est calculable.

 

Remarque


De la formule précédente, on obtient :

fibo_rec2.png

Cela nous permet de calculer les termes de la suite de Fibonacci vers la gauche, c'est à dire de calculer les termes de la suite à partir des deux suivants. Chaque terme est la différence du deuxième terme suivant par celui juste suivant. Par exemple : 5=13-8 ou 21=54-33.

 

Extension

Cette nouvelle formule permet aussi de calculer les termes de la suite de Finbonacci d'indice négatif. On a donc :

(*)                                                      .....-8, 5, -3, 2, -1,1, 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54.....

 

Définition formelle


La suite de Fibonacci (étendue) est définie par la donnée de : fibo_init.png

Les termes d'indice positif sont calculés à partir de la formule

fibo_n.png

Les termes d'indice inférieure ou égal à 0 sont calculés à partir de la formule

fibo_rec2.png

 

Encore une fois il faudrait prouver que cette définition établit bien l'existence de tous les termes d'indice négatifs de cette suite.

Remarque

 

On voit facilement à partir des nouveaux termes (*) calculés vers la gauche :  

  .....-8, 5, -3, 2, -1,1, 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54.....

que

conj.png

 

Conjecture

 

Les observations suivantes nous donnent une conjecture sur les termes d'indice négatif de la suite de Fibonacci : Pour n entier naturel (donc positif) :

Fneg.png

Démonstration

 

Nous allons faire une preuve par récurrence.

D'après la remarque l'étape d'initialisation est validée. En effet les 2 cas possibles n pair (n=2) et n impair (n=1) ont été vus. (n=0 convient aussi pour le cas pair)

Supposons que la formule de la conjecture soit vrai pour tout k positif inférieur ou égal à n (c'est notre hypothèse de récurence). Montrons qu'elle le reste pour n+1. Deux cas sont possibles : n-1 est pair ou n est impair.

Si n+1 est pair, n est pair donc n est impair on a

fibnn-copie-1.png

en utilisant 2 fois notre hypothèse de récurrence.

Cela correspond bien à ce que l'on voulait montrer dans le cas où n+1 est pair. Si n+1 est impair, avec un raisonnement similaire on obtient que

fibnn-copie-2.png

La formule est donc héréditaire. La preuve est faite qu'elle est prouvée pour tout n naturel (et même n relatif !).

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Nombre d'or - Communauté : Mathématiques
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