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14 janvier 2014 2 14 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet a pour sujet la suite des nombres : 

 

1, 1/2 , 1/3, 1/4 , 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, etc......

 

Cette suite de nombre, notons la (un), telle que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 :


Décroissance de la suite

Cette suite est décroissante. En effet, considérons deux termes consécutifs quelconques un et un+1 pour un n au moins égal à 1. On a

 

59

Or


car n + 1 ≥ n ≥ 1 > 0 implique n(n + 1) > 0.

 

Ainsi un >un+1 pour tout n au moins égal à 1. Autrement dit, (un) est une suite décroissante.

 

S'approcher de zéro

Les termes de cette suites s'approchent aussi près que possible de zéro sans jamais l'atteindre. Atteindre zéro est imposible car le numérateur de


est 1 quelquesoit n !

 

Soit ε>0 un nombre ("ε" se lit epsilon). On peut choisir ε aussi petit que l'on veut, et trouver une valeur n pour laquelle 

 

 

 

Puisque n>0, cela est équivalent à

Et il suffit pour cela de prendre

Par exemple, pour n>1/8,125=8, on a 1/n<0,125.

 

60.png

Pour n plus grand que 8, tous les termes de la suite sont à moins de 0,125 de zéro.

Notion de convergence vers zéro

Nous venons de voir que la suite (un) converge vers zéro. Voici la définition 

 

Définition. Si pour tout ε>0, il existe un entier naturel N tel que :

  • n≥ N implique  -ε<un<ε

alors on dit que (un) converge vers zéro.

 

Remarque. -ε<un<ε implique sur un dessin que les terme de la suite sont tous dans le disque centré en zéro et de rayon ε à partir d'un certain rang.

 

Si (un) converge vers zéro, on dit aussi que la limite de (un) est zéro, ce qui se note



 

A suivre : convergence d'une suite.....

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Published by Mathotak' - dans Suites
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commentaires

Angeline 28/03/2017 21:51

j'aime me promener ici. un bel univers. venez visiter mon blog

Angelilie 08/03/2017 18:36

beau blog. un plaisir de venir flâner sur vos pages. une belle découverte et un enchantement.

massage 27/01/2014 18:46


je ne connaissais pas cette équation, l'école étant loin derrière moi... Par contre, je suis enchanté de voir que l'on peut converger vers le zéro sans jamais l'atteindre. Cela rejoint totalement
le quantique, ou la division est un mouvement, or si le mouvement est par définition non nul, le zéro en tant qu'aboslu rien ne peut être atteint. Maintenant, s'il y avait une opération qui ne
soit pas considéré comme un mouvement (la division est l'accélération de la soustraction...), il serait possible de donner une valeur au zéro puisqu'il aurait des coordonnées précises. Problème,
vaudrait-il encore zéro ?  Voilà où j'en suis !

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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