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29 décembre 2013 7 29 /12 /décembre /2013 12:00

Avant de donner une définition du terme vecteur, je souhaiterai donner des exemples.

 

Plaçons-nous dans un repère : une origine et deux axes gradués.

 

Prenons un point A et un point B dans ce plan de coordonnées respextives (xA,yA) et (xB,yB) (voir L'ensemble R² : présentation) comme ci-dessous. On a vu que dans R², on pouvait additionner ces coordonées, on obtient alors d'autres coordonnées : 

 

 

(xA,yA) + (xB,yB)=(xA+xB,yA+yB)=(xC,yC)

 

Notons C le point de coordonnées (xA+xB,yA+yB). 

 

37.png

 

Sur la figure,


A : (xA,yA) =(3;4) et B : (xB,yB)=(-2;2)

d'où

C : (xC,yC)=(xA+xB,yA+yB)=(1;6)


Je fais maintenant appraître des flèches reliant l'origine du repère à A, B et C; et aussi des flèches reliant A à C et B à C.

38.pngEn regardant la figure, on "voit" que :

  • la flèche allant de O à A et la flèche allant de B à C sont les même : dans les deux cas on se déplace de 3 unités en abscises et de 4 en ordonées (ce sont les coordonnées de A). Cette flèche est en rouge.
  • la flèche allant de O à B et la flèche allant de A à C
    sont les même : dans les deux cas on se déplace de -2 unités en abscises et de 2 en ordonées (ce sont les coordonnées de A). Cette flèche est en violet.
  • la flèche allant de O à C peut s'obtenir en metant bout à bout la flèche rouge et la flèche violette dans l'ordre que l'on veut (soit la rouge puis la violete, soit la violette puis la rouge).
  • Les coordonnées de la flèche

Dans le monde des vecteurs la flèche rouge qu'elle parte de O ou de A est la même. En fait, dans le monde des vecteurs, seuls comptent les coordonnées.

 

Voici comment, je définirai les vecteurs sur ce blog :

 

Définition. Les vecteurs du plan sont des couples de rééls notés


Généralement, un vecteur se note avec une flèche.

 

 

Graphiqument les vecteurs se représentent par des flèches.

 

Dans l'exemple ci-dessous

39.png

le vecteur est noté

  

et ses coordonnées sont

 

Comme l'avions déjà constaté, il peut y avoir plusieurs représentants pour un même vecteur :

40.png

Cependant, parmi tous les représentant, il y en a un qui a pour coordonnées les mêmes coordonnées que le point d'arrivée :

41.pngIci le vecteurs a les mêmes coordonnées que le point A.

 

Notation. Si M(xM,yM) et P(xP,yP) sont deux points de R², on note


le vecteur de coordonnées


Remarque : tout vecteur a une infinité de représentants, car le point de départ (M ici), peut être choisi arbitrairement.

 

Revenons à notre exemple de départ. Pour aller du point O au point C dans l'exemple de départ, on voit que l'on peut passer par le point B ou par le point C.

 


38.png

 

On a en outre


Cela s'explique par le fait que

et

 

La somme de deux vecteurs peut donc se "visualiser" en dessinant bout à bout des représentants des deux vecteurs dont on veut faire la somme. La possibilité de passer par B ou par A sur le dessin est une illustration de la commutativité de la somme dans R² (voir L'ensemble R² : présentation )

 

On a bien pour deux vecteurs


 

la formule pour la somme :

 

 


 

 

 

Par ailleurs ces deux formules
 

et

 

peuvent s'expliquer par le calcul grâce à la relation de Chasles :

 

Propriété (relation de Chasles). Soient A et B deux points et I un troisième point quelconque. On a

Graphiquement, on peut l'interpréter en disant que pour aller de A à B, on peut passer par le point I

42.png

Démonstration.  C'est facile à voir puisque  

et

Ainsi  


puis

 

 

A suivre...

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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