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22 décembre 2013 7 22 /12 /décembre /2013 17:10

Définition et notation

La valeur absolue. Au collège, on l'appelle la distance à zéro d'un nombre. Si un nombre est positif, sa valeur absolue est égale à ce nombre, s'il est négatif, c'est l'opposé de ce nombre. 

 

OA=5 et OA'=5 aussi.

 

La valeur absolue d'un nombre est donc un nombre positif.

 

Exemples.

  • La valeur absolue de -5 est 5.
  • La valeur absolue de 12,3 est 12,3.
  • la valeur absolue de 0 est 0.

On note |-5| la valeur absolue de 5.

On note |x| la valeur absolue de x.

Quelques propriétés

Propriété 1. Si a est un nombre positif ou nul, et x un nombre réel, alors |ax|=a|x|.

 

Démonstration. En effet a étant positif, ax et x ont le même signe, peu importe celui de x :

  • si x>0, ax>0 et |ax|=ax=a|x|
  • si x<0, ax<0 et |ax|=-ax=a(-x)=a|x|
  • si x=0, ax=0 donc |ax|=0=a|0|=a|x|

Fin de la preuve.

 

Propriété 2.Si x est un nombre réel, alors |x|=|-x|.

 

Démonstration.

  • Si x est nul, pas de problème car 0=-0.
  • Si x<0, |x|=-x et -x>0 donc |-x|=-x aussi. Donc |-x|=|x|
  • Si x>0, |x|=x et -x<0  donc |-x|=-(-x)=x aussi. Donc |-x|=|x|

Fin de la preuve.



 

Propriété 3. Si x et y sont deux nombres réels, alors |xy|=|x| |y| .

 

Démonstration. Si x ou y est nul, il n'y arien à démontrer car xy=0 et |x| |y| = 0 car |x|=0 ou |y| = 0. Sinon, on peut faire un tableau avec les 4 possibilités suivant les signes de x et y :

 

  x>0 x<0
y>0 xy>0 donc |xy|=|x||y| xy<0 donc |xy|=-xy = |x||y|
y<0 xy<0 donc |xy|=-xy = x(-y)= |x||y| xy>0 donc |xy|=|x||y|=|-x||-y|


 

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Published by Maths_Buchwald
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  • : Maths Otak'
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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