Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
11 mai 2011 3 11 /05 /mai /2011 12:00

Un solide convexe est régulier lorsque :

  • à chaque sommet, il y a exactement le même nombre de faces
  • les faces sont des polygones réguliers tous superposables

On dit alors que c'est un solide de Platon.

 

Notons p le nombre d'arête par face. Par exemple dans un cube, p=4 car les faces sont des carrés.

 

Notons q le nombre de faces se rejoignant en un sommet. Par exemple pour un cube q=3.

 

Dans un solide de platon, on a toujours p et q : {p,q}. Par exemple, pour un cube c'est {4,3}.

Pour un tétraèdre, c'est {3,3}.

 

Je vais énoncer la propriété suivante sans la démontrer :

 

Lemme : Dans un solide convexe, la somme des angles pour un même sommet ne dépasse pas 360°=2π (en radiants). 

 

[Pour vous en convaincre, essayez de faire des patrons]

 

Dans ce qui suit, je vais raisonner en radiants : π radiants=180°.

 

J'appelle cette propriété un lemme, elle sert à démontrer une autre propriété plus intéressante.

 

Dans un solide de Platon {p,q}, pour un sommet donné, il y a q faces. Les q faces sont des polygones réguliers à p côtés. On sait d'après Angles d'un polygone régulier que ces angles mesurent 180°-360°/p. En radiant cela donne :

somme_angle_Platn.png

D'après le lemme, un sommet étant donné, la somme des angles ayant pour sommet ce sommet est inférieure à 2π autrement dit :

ineg_Plat1.png

Succèssivement, on aboutit aux inégalités suivantes :

 

inegalites_Platn.png

 

En écrivant les 3 fractions avec le même dénominatueur, on obtient successivement :

ineg_3_Platn.png

 

Ceci nous permettra de trouver les valeurs possibles pour p et q puis de trouver tous les solides de Platon.

 

 

La suite ici.

Partager cet article

Repost 0
Published by Maths_Buchwald - dans Solides
commenter cet article

commentaires

Présentation

  • : Maths Otak'
  • Maths Otak'
  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
  • Contact

Twitter

Recherche

Mes vidéos

Catégories