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15 juillet 2011 5 15 /07 /juillet /2011 12:00

Je réponds à la question poséte dans Quadrilatère des milieux des côtés

 

A partir d'un quadrilatère (en noir), j'ai formé un quadrilatère dont sommets sont les milieux des côtés (en rouge), les côtés reliant les milieux étant sur des côtés consécutifs du premier quadrilatère.

 

varignon1.png varignon2.png 
 Exemple 1
 Exemple 2

 

Quel est la particularité du nouveau quadrilatère obtenu ?

 

Réponse. Pour répondre à cette question, je vais utiliser la propriété suivante

Propriété.  Si un segment a pour extrémités les milieux de 2 côtés d'un triangle, alors ce segment est parallèle au troisième côté du triangle et mesure la moitié de celui-ci.

Je trace les diagonales pour faire apparaître deux triangles dans le quadrilatère ABCD de départ (en couleur violette sur la figure ci-dessous).

varignon1-copie-1.png  varignon2-copie-1.png
Cas où ABCD n'est pas "croisé" Cas où ABCD est "croisé"


Dans le triangle ABD, E et F étant les milieux respectifs de [AB] et de [AD], le segment [EF] est parallèle à [BD]. De plus EF=BD/2.
Dans le triangle BDC, H et G étant les milieux respectifs de [BC] et de [DC], le segment [GH] est parallèle à [BD]. De plus HG=BD/2.
Comme [EF]//[BD] et [HG]//[BD], on en déduit que [EF] et [HG] sont eux-même parallèles entre eux.


De la même façon, dans le triangle ABC, on montre que [EH]//[AC] avec EH=AC/2. Dans ADC, on a que [FG]//[AC] avec FG=AC/2.

Ainsi le quadrilatère EFGH possède les propriétés suivantes :

  • [EF]//[HG]
  • [FG]//[EH]

C'est donc un parallélograme. De plus les côtés ont la même mesure que la moitié des diagonales du quadrilatère de départ. 

C'est le théorème de Varignon

Théorème. Si l'on joint les milieux des côtés d'un quadrilatère par des segments, les segments obtenus forment un parallèlogramme.

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Published by Maths_Buchwald - dans Triangles
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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