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31 décembre 2013 2 31 /12 /décembre /2013 12:00

Cet article fait suite à Suite géométrique   mais si vous voulez voir tout ce qui concerne les suites sur ce blog, allez sur cette page s'il vous plait.

 

Considérons une suite géométrique g=(gn) de terme initiale g0 et de raison q.

 

On supposera que q≠1 (en effet dans le  cas q=1 la suite est constante).

 

Si k est un entier naturel, on a

gk=qkg0

 

 

Alors si n est un entier au moins égal à 2, on a

 

g0+g1+.....+gk +.....+gn=g0+qg0+...+qkg0.+qng0 = g0(1+q+q²+....+qk+....+ qn)


Avec la notation Σ  cela donne


Il suffit donc de savoir calculer la somme entre parenthèses (remarquons pour la version utilisant la notation Σ les parenthèses sont inutiles, en sous-entendant que le calcul de la somme Σ est prioritaire).

 

Notons cette somme entre parenthèses Sn. Soit

Sn=1+q+q²+....+qk+....+ qn

 

ou


L'astuce pour la calculer est la suivante :

  • multiplions cette expression par q puis
  • retrachons à la somme de départ le résultat obtenue

Cela donne :

  • qSn=q×(1+q+q²+....+qk+....+ qn )=q×1+q×q+q×q²+....+q×qk+....+q× qn = q+q²+q³+....+qk+1+...+qn+1

    ou
  • D'où
    1+q+q²+....+qk+....+ qn - q×(1+q+q²+....+qk+....+ qn ) = 
     
    1 + q + +....+ qk +....+ qn
      - q - -....- qk -....- qn - qn+1 =  
    1                 - qn+1    

 Soit  Sn-qSn=1-qn+1

ou encore (1-q)Sn=1-qn+1

 

Comme q≠1, 1-q≠0 et cela donne


Pour obtenir la somme des termes de (gn), il suffit de multiplier ce résultat par g0.

 

On a donc démontré la propriété suivante

 

Propriété. Si q≠1et si (gn) est une suite géométrique de terme initiale g0 et de raison q, on a pouir n entier au moins égal à 2 :



 

 

Remarque. Avec la notation Σ, on a une version plus compacte, mais dont il faut bien comprendre chaque étape (prendre le temps)


Or

et

Ainsi

 


 


 

Même si cette notation se veut plus rigoureuse, elle est quand même plus compliquée que celle utilisée précédemment, et pas plus claire dns certains cas. Ne pas hésiter à poser des questions en commentaires...

 



 

 

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Suites
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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