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15 décembre 2013 7 15 /12 /décembre /2013 10:00

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique : l'anecdote de Gauss.

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpgPour introduire la somme des premiers termes d'une suite géométrique, mon prof de 1ère S, nous avait fait calculé la somme suivante :

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

Il nous avait raconté l'anecdote célèbre sur le mathématicien Gauss (mais que certains ont entendu sur d'autres illustres mathématiciens...), que, pour ma part j'aime à croire juste. Gauss alors âgé de 5 ans, puni par son maître devait calculer cette somme :

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

L'histoire dit alors que le professeur ayant donné ce calcul pensait sans doute être tranquille un certain temps. Il s'était bien trompé. L'enfant très doué et plutôt impertinent (mais aussi pertinent), avait calculé cette somme en deux coups de cuillère à pot en utilisant un truc tellement simple qu'il en est d'autant plus déroutant.

 

Voici ce truc : écrivons cette somme à rebours pour commencer et plaçons la juste sous la somme dans l'ordre initial

 

 

1

+

2

+

3

+

..............................

+

98

+

99

+

100

100

+

99

+

98

+

…..........................

+

3

+

2

+

1

 

 

Maintenant ajoutons ces deux sommes en associant 1 à 100, 2 à 99, 3 à 98, …...., 98 à 3, 99 à 2, 100 à 1.

 

On obtient

 

101

+

101

+

101

+

…..........................

+

101

+

101

+

101

 

C'est à dire 100 × 101. La somme de départ a été ajoutée à elle même, chaque terme est en double exemplaire. Donc la somme de départ

 

1+2+3+4+5+6+7+..............+100

 

vaut donc la moitié de 100 × 101 :


Ainsi même en donnant la somme des 1000 ou des 10000 premiers nombres, le maître n'aurait pas réussi à se débarasser du génie plus de quelques minutes. En effet on peut facilement généraliser ce calcul, en trouver pour la somme des n premiers entiers strictement positifs  :

Remarques : La somme calculée est celle des n premiers termes de la suite (un) définie par u0=1 et un=un-1 + 1 (pour n au moins égal à 1), qui est la suite artihmétique de premier terme 1 et de raison 1.

Nous verrons dans un prochain article de ce blog que le truc de l'enfant Gauss peut être généralisé à toutes les suites arithmétiques, permettant ainsi de calculer la somme des premiers termes de toutes ces suites.

 

Ce nombre

correspond aussi au nombre de segments pouvant être tracés avec n points distincts (voir Nombre de diagonales d'un polygône (4) ) ou encore au nombre de couples possibles dans un ensemble de n personnes (plus tard sur ce blog). Y a-t-il un rapport entre ces quantités et la somme 1+2+......+n ?


 

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Published by Maths_Buchwald - dans Suites
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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