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7 janvier 2014 2 07 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet fait suite à Suites arithmético-géométriques .

 

Aujourd'hui je voudrais trouver un formule permettant d'obtenir le terme d'indice n d'une suite arithmético-géométrique.

 

Soit (un) une suite arithmético-géométrique de terme initiale u0. Par définition, il existe q et r tels que pour tout entier naturel :

(1)           un+1=qun+r 

 

On suppose que q est différent de 1 (sinon la suite est simplement arithmétique).

 

Pour n>0, on a aussi :

(2)            un=qun-1+r 

 

De (1) et (2) on déduit que pour n>0, on a

 

(3)            un+1-un=q(un-un-1


Posons alors pour n supérieur ou égal à 0 : gn=un+1-un.

 

La suite (gn) ainsi formée est d'après (3) une suite géométrique de raison q. D'après Suite géométrique , on a donc pour tout n>0 :


(4)           gn=qng0

Donc un+1-un=qng0 pour tout pour n>0.

 

Ici je vais utiliser une astuce :


(un+1-un)+(un-un-1)+........+ (u2-u1)+(u1-u0) =
un+1 -un+un   -un-1+...... ..+ u2  -u1+u1 - u0 =un+1- u0

 

Ainsi


qng0+qn-1g0+.....+qg0+g0 = un+1- u0

 

Soit pour n>0, d'après Suites géométriques (somme 1)


D'où pour n>0,

Or g0=u1-u0=qu0+r-u0=(q-1)u0+r donc pour tout n>0

Pour n>1, on a donc :

 

 

Cette formule est valable aussi pour n=1 car


 

On a donc démontré la propriété suivante


 

Propriété.

 

Soit (un) une suite arithmético-géométrique de terme initiale u0. On suppose qu'il existe q et r tels que pour tout entier naturel :

un+1=qun+r 

avec q différent de 1.

 

Alors pour tout n supérieur ou égal à 1, on a

 

 


A suivre.... Suites géométrico-arithmétiques.

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Published by Maths_Otak' - dans Suites
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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