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8 décembre 2013 7 08 /12 /décembre /2013 15:11

Cet article fait suite à :

 

Suite arithmético-géométrique

 

Avant de voir les suites de type arithmético-géométrique, revoyons rapidement, les suites arithmétiques et les suites géométriques.

 

Exemple 1 (suite arithmétique)

 

-2 ٠1 ٠ 4 ٠ 7 ٠ 10 ٠ 13 …......

est une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme a0 = -2.

On a pour tout entier naturel n, an=-2+3n.

 

Exemple 2 (suite géométrique)

 

3 ٠-6 ٠ 12 ٠ -24 ٠ 48 …......

est une suite géométrique de raison -2 et de premier terme g0 = 3.

On a pour tout entier naturel n, gn=3×(-2)n.

 

Définition. Une suite arithmético-géométrique est une suite (hn) définie pour tout entier naturel n par

hn=qhn-1+r

où q et r et h0 sont des réels.

 

Remarque. Comme pour les suites arithmétiques et géométriques, c'est une définition récursive. Dans une suite arithmético-géométrique pour passer d'un terme au terme suivant on applique les deux procédés des types de suites justement évoqués.

 

Exemple 3 (suite arithmético-géométrique)

On prend h0=-1, q=3 et r=-2, voici les premiers termes de la suite (hn) : je les calcule avec un tableur pour gagner du temps

 

16.png

 

Ce qui donne

-1 ٠ -5 ٠ -17 ٠ -53 ٠ -161 ٠ -485 ٠ -1457 ٠ -4373

 

17.png

On peut remarquer en calculant la différence entre deux termes consécutif que cette différence semble former une suite géométrique :

 

-4 ٠ -12 ٠ -36 …...

 

de terme initial -4 et de raison 3...

 

 

 

Autrement dit, il semblerait que que la suite (dn) définie par dn=hn+1-hn soit géométrique.

 

 

 

 

Questions :

  1. Peut-on exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique par une formule comme pour les suite arithmétique et les suites géométriques ?

  2. Comment pourrait-on définir une suite géométrico-arithmétique ? Est-ce la même chose qu'une suite arithmético-géométrique ? Peut-on généraliser ce procédé ?

 

À suivre....

 

Pour en voir plus sur les suites ici : Page des suites.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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