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28 avril 2012 6 28 /04 /avril /2012 12:00

Précédemment : Suite arithmétique

 

Définition : Une suite géométrique est

 

Comme pour les suites arithmétiques, on peut faire un algorithme pour calculer les termes d'une suite géométrique. Rappelez-vous l'algorithme que j'avais mis pour une suite arithmétique de raison r et de premier terme a, si l'on veut le k-ième terme :

 

Calculer le k-ième terme d'une suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, r, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b+r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b    

     Sortie : le k-ième terme de la suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

 

 

Avec les suites géométriques, il y a le même algortihme, mais en replaçant la ligne b reçoit b+r par b reçoit b×r 

 

Algorihme : récur_géom

 

Calculer le k-ième terme d'une suite géométrique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, q, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b×r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b     

     Sortie : le k-ième terme de la suite géométrique de raison r et de premier terme a.

 

 


Comme avec les suites arithmétiques, cet algorithme nécéssite k opérations si on cherche le (k-1)-ième terme. Heuresement, il y a là aussi une formule.
Je ne ferai pas la démonstration de cette formule. Il suffit de remplacer + par
×. Mais alors par quoi faut-il remplacer × ? Faisons un petit détour en repensant à la définition de multiplication.

 

 

Détour : Qu'est-ce que la multiplication ?

 

Supposons que l'on sache faire les addtions. On veut apprendre à faire une multiplication, non pas intuitivement mais mécaniquement, comme le ferait un programme. Si l'on fait la multiplication 7×5, on peut faire : 7+7+7+7+7, c''est ce que l'on fait quand on ne connaît pas encore bien les tables de mutliplication. (Il s'avère que c'est la même chose que 5+5+5+5+5+5+5, j'en parlerai un jour). Cela revient à ajouter 7 à chaque fois en partant de zéro. C'est une suite arthmétique de raison 7 et de premier terme 0 dont on cherche le 5è terme. J'ai comme l'impression qu'on tourne en rond là non ? On vient de voir qu'en fait faire une mutlplication de nombres entiers, c'était trouver un terme d'une suite arithmétique. Plus précisément, on a la définition :

 

Définition : Soient m et p deux nombres entiers naturels. Le produit de m par p est le p-ième terme de la suite arithmétique de raison m et de premier terme zéro.

 

Remarque : C'est aussi le m-ième terme de la suite artihmétique de raison p et de premier terme 0. J'en parlerai un autre jour promis.

 

Donc on a défini une multiplication grâce aux suites. Quand on répète plusieurs fois la même addition, on fait une multipliation, et quand on répète plusieurs fois une multiplication, on calcule ...... une puissance. Par exemple, 35×35×35×35×35 = 35⁵. La définition d'une puissance est clairement liée à celle de suite récurente.

 

Définition : Soient q et n deux nombres, n étant entier naturel. qn est le n-ième terme de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison q.

 

On a donc finalement une formule donée par la propriété suivante.

 

Propriété : Le k-ième terme d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est le nombre a×qn

 

Remarque générale :


La propriété donnant le k-ième terme de la suite géométrique c'est finalement la définition d'un puissance avec un exposant entier. De même, la propriété donnant le k-ième terme d'une suite arithmétique, c'est la définition du produit de deux nombres entiers (j'y reviendrai...). Donc on a rien appris avec ces deux articles, juste du vocabulaire...

 

 

A suivre : suites arithmético-géométriques

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Published by Maths_Buchwald - dans Suites
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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