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23 décembre 2010 4 23 /12 /décembre /2010 14:45

La formule de Binet permet de calculer les termes de la suite de Fibonacci sans utiliser la récursivité : il est inutile de connaître les deux termes précédents pour trouver celui qui nous intéresse.

 

Voici cette formule :

binet-copie-2.png

On reconnait le nombre d'or et l'autre racine de l'équation a2=a+1 intervenant dans cette formule ($) :

nb_or_et_conj.png

Avec ces notations, la formule de Binet devient

binet2.png


 

Vérifions que cette formule est correcte par récurrence :

  • Initialisation :
    • Tout d'abord, F0 est bien égal à 0 car tout nombre à la puissance 0 vaut 1
    • F est égal à 1 comme on le voit à partir d'un calcul (attention au signe - devant les parenthèses)
  • Hérédité : Supposons la propriété suivante vraie pour un certain n : 
(HR) La formule de Binet est vraie pour le calcul de Fk où 0k<n+1

 

Je vais montrer que la formule de Binet est encore vraie pour n+1. On utilise la définition de la suite de Fibonacci, à savoir la formule de récurrence (*) :

fibo n

Avec l'utilisation des notations φ et ψ

 

frr1-copie-2.png

d'où puisque :

frr2-copie-1.png

 

on obtient successivement

 

frr3

Dans la dernière égalité, on a utilisé un développement et (HR) pour k=n et k=n+1. Ceci achève l'étape d'hérédité.

 

La formule de Binet est donc démontrée.

 

Remarque : Dans la phase d'initialisation, j'ai vérifié que la formule était valable pour les deux premiers termes de la suite de Fibonacci. En effet, la suite de Fibonacci est uniquement définie à partir de 2 termes et de la formule de récurrence (*).

 

On peut vérifier que ψ est donné par la formule ($) est la seconde solution de l'équation a2=a+1. Mais cela n'a pas servi dans les calculs de l'expliciter.

 

Dans cet article, je suis parti de la formule toute faite et j'ai simplement vérifié qu'elle fonctionnait. Plus tard, nous verrons comment cette formule a pu être découverte et comment cette méthode peut se généraliser. Par ailleurs, cela me permettra de monter un exercice (connu) aboutissant à la découverte de cette formule. J'aurai besoin d'utiliser les matrices pour faire tout çà et la lecture s'adressera cette fois-ci à un publique plus expérimenté. Néanmoins, les curieux y trouveront quelquechose.

 

A suivre ...

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombre d'or
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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