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2 mai 2011 1 02 /05 /mai /2011 12:00

Cet article fait suite à

 

Erreur commise précédemment

 

Je voudrais montrer que dans la suite de Conway, pour tous les termes seuls apparaissent les chiffres 1, 2 ou 3.

J'avais remarqué (Remonter dans la suite de Conway )  que les termes de la suite, à partir du deuxième, comportent un nombre de chiffres pair. Pour chaque paire, le premier chiffre désigne la quantité d'apparitions consécutives du deuxième chiffre de la paire dans le terme précédent à un certain endroit du terme.

Par exemple, 11 (2è terme) , 21 (3è terme) : le 2 du 3ème terme est la quantité de 1 consécutifs dans le 2ème terme.

 

J'ai alors commis une erreur en ignorant qu'il pourrait y avoir plus de 10 chiffres identiques consécutifs dans un terme de la suite, par exemple ...211111111111111111111111111113.... qui donnerait dans le terme suivant ..... 281....

C'est sans doute vrai qu'il ne peut y avoir plus de dix chiffres consécutifs identifs (du moins j'y crois), mais je ne l'ai pas prouvé (encore) !

 

Ainsi, je souhaite introduire une nouvelle suite inspirée de la suite de Conway : la suite de Conway avec les symboles de la base infinie que j'appellerai la suite symbolique de Conway.

 

Quelques remarques

 

Dans le système décimal, les nombres s'écrivent avec des chiffres 0,1,.....,9. On est en base 10. Si un nombre est au moins égal à 10, il s'écrira avec au moins 2 chiffres. Dans les entiers, seuls les nombres au moins égaux à dix ont deux chiffres.

Dans le système hexadécimal les nombres s'écrivent avec les chiffres 0,1,.....,9,A,B,C,D,E,F. On est en base seize. (A se lit dix, B se lit onze, .... F se lit seize). 

Dans le système de base infinie, les nombres entiers, s'écrivent tous avec un seul chiffre. Il suffit pour cela de considérer l'écriture en base dix et de dire que ce n'est qu'un seul symbole ! Par exemple, disons que 23 est un seul symbole (23). Il suffit de le dire !!!

 

Suite symbolique de Conway

 

Avec les symboles de la base infinie, la suite de Conway s'écrira de la même façon qu'avec ceux de la base dix :

  • le premier terme de la suite est le symbole 1
  • le second terme est   11 où 1 est considéré comme un chiffre en base infinie. Il est composé de deux symboles.
  • le (n+1)-ième terme s'obtient à partir du n-ième en regardant les symboles de la gauche vers la droite et en écrivant la quantité en base infinie suivie du symbole concerné. Par exemple, ....... (23)4........ donnerai 1(23)14

Le nombre servant à désigner la quantité de chiffres consécutifs étant alors considéré comme un symbole . Mais, je peux alors affirmer l'assertion jusqu'alors faussement prouvée dans Remonter dans la suite de Conway en la modifiant :

  • ... les termes de la suite de Conway ont un nombre de chiffre pair (sauf le premier 1). [affirmation non prouvée]
  • Les termes de la suite de Conway ont un nombre de symboles pair (sauf le premier 1) [affirmation vraie par construction]

Appelons cette suite la suite symbolique de Conway. Si les symbole apparaissant dans cette suite ne sont jamais au moins égaux à 4, alors dans la vraie suite de Conway, aucun chiffre ne pourra être au moins égal à 4. En effet les termes des deux suites seront alors exactement identiques puisqu'aucun symbole ne sera différent de 1,2 ou  3.

 

En espérant que cela sera utile pour la suite.

 

A suivre ...

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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