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27 avril 2012 5 27 /04 /avril /2012 12:00

Précédemment : Suite

 

Définition : Une suite arithmétique est une suite (récurente) dont le premier terme est donné et dont les autres termes valent le précédent plus un nombre appelé raison.

 

Exemple : u0 = 5. La raison vaut 3. Alors u1= u0+3=5+3=8, u2= u1+3=11, u3=u2+3=14 etc.....

 

Algorithme : Calculer le k-ième terme d'une suite arithmétique de raison r et de premier terme a.

     Entrée : a, r, k,

     b reçoit a %% la variable b va prendre les valeurs successives dendes termes la suite jusqu'àu  k-ième

     i reçoit  0 %% i est l'indice du terme

     tant que i<k faire   

          b reçoit b+r

          i reçoit i+1 %% c'est ce qui permet de passer au terme suivant

     fin tant que

     retouner b     

     Sortie : le k-ième terme de la suite de raison r et de premier terme a.

 

      Cette algorithme fonctionne, mais pour calculer le 1 000 èterme d'une suite, je dois faire 999 additions, je calcule les 998 termes précédents, mais si seul le 1 000 m'intéresse, il y a sans doute une méthode plus rapide. Si je veux compter le nombre d'heure d'une semaine, je peux ajouter 24h pour chaque jour de cette semaine, ou bien je fais 24 fois 7 et j'obtiens le résultat. A un détail près, supposons que 32h ont passé, c'est le premier terme de la suite u0=32, et que chaque jour  j'ajoute 24 heures. J'ai une suite arithmétique de premier terme 32 et de raison 24. Alors une semaine après, j'obtiens u7=32+24×7=200. Cela m'a pris 2 opérations. 

 

En fait il y a la formule donnée dans le propriété ci-dessous :

 

Propriété : Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors uk=u0+kr pour tout k entier naturel.

 

Preuve. On utilise pour cette preuve la propriété de récurrence : Principe de récurrence

Pour k=0, cette formule est vraie. Suppossons là vraie au rang i. Alors ui+1=ui+r.

Mais d'après l'hypothèse de récurence, on a donc ui+1=u0+ir+r=u0+i(r+1).

FIN DEMONSTRATION.

 

 

A suivre : suites géométriques

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Published by Maths_Buchwald - dans Suites
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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