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12 juillet 2011 2 12 /07 /juillet /2011 12:00

L'ensemble des nombres rationnels,  Q,  est dénombrable, autrement dit on peut donc énumer tous ses éléments :
0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 3, -3, 1/3, -1/3, 2/3, -2/3,.................

 

Mais Q est "partout" dans le sens suivant : entre deux nombres réels, il y a toujours un nombre rationnel.

 

Je vais montrer qu'il y toujours un nombre décimal compris entre deux réels. Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire sous la forme

n est un entier relatif et k un entier naturel.

 

Les nombres décimaux sont des nombres dont le développement décimal est fini.

 

Exemple :

 

 

Considérons deux nombres réels a et b, avec a<b.

Par exemple : a=12,3444560999999999.......... et

                          b=12,34567891011121314.........

b-a est un nombre positif.

Son développement décimal s'écrit :

Pour notre exemple

b-a=0,0012........

En partant de la gauche dans notre exemple, 1 est le premier chiffre non nul.
Disons qu'il a l'indice t dans le cas général avec ct (t peut être positif ou négatif). ci=0 si i>t.

 

Je pose

si t<0 et, si t≥0 je pose


Dans l'exemple, je pose d=0,001.
Si t<0, je considère a' le nombre décimal dont les chiffres sont les même que ceux de a et s'arrêtent au chiffre d'indice t. Alors a'≤a≤b d'où
          a'+d≤a+d<a+(b-a)=b car d≤b-a.
Par ailleurs a'+d>a car d>a-a' puisque a-a'<10t et que d est un multiple de 10t par un nombre positif : d=cr....ct10t.

Donc a'+d est un nombre décimal compris entre a et b.

Dans l'exemple : t=-3 et a'=12,344. On a a-a'=0,0004 <10-3=0,001 (et d=0,001).
Donc a'+d=12,344+0,001=12,345. C'est un nombre décimal compris entre a et b.

 

 

La propriété suivante a été prouvée :

 

Propriété. Entre deux nombres a et b, il existe un nombre rationnel.

 



 

 

 

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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