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5 juillet 2011 2 05 /07 /juillet /2011 12:00

Cet article suit :

Dans cet article je montre que l'ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable.

 

Pour cela il faut établir une bijection entre N et Q :

f:N--->Q

f(1), f(2), f(3), ...... doivent être tous les nombres de Q.

 

Je commence par une bijection entre N et Q+ , Q+ désignant l'ensemble des nombres rationnels positifs.

Un nombre rationnel positif est une fraction avec un nombre entier positif et un nombre entier positif non nul au dénominateur. Voici quelques exemples d'éléments de Q+ :

 

On peut ranger toutes les fractions dans un tableau infini :

Tous les nombres rationnels positifs sont dans ce tableau. Par exemple le nombre

se trouve dans la colonne 135 et dans la ligne 2 678 987.

On peut donc faire la liste de toutes les fractions de la manière suivante :

  1. On commence par la fraction en haut à gauche (on coche la case)
  2. On se place dans la première colonne à la première ligne non cochée. On remonte en diagonale vers le haut et vers la droite jusqu'à arriver jusqu'à la première ligne du tableau en cochant les cases traversées au fur et à mesure.
  3. On répète l'étape 2.

Ainsi, on peut faire la liste de toutes les fractions :

Parmi elles, certaines sont égales comme 0/1=0/2=0/3=........=0 ou 1/1=2/2=3/3, on élimine au fur et à mesure les fractions qui sont égales à une fraction déjà listée : 

On a donc une bijection g de N vers Q+

Même si l'on ne dispose pas de formule pour cette fonction, il s'avère que la manière par laquelle elle est construite en fait une fonction surjective (tous les rationnels sont dans le tableau) et injective (on a éliminé les "doublons"). La fonction g est donc bijective.

 

On peut maintenant construire la bijection f entre N et Q en alternant les éléments de Q+ et leur opposés comme suit :

On a donc une bijection entre N et Q+ . 

 

A suivre ...

 

 

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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commentaires

Supradyn 07/10/2015 10:43

Merci pour cet article, mais pourquoi "à suivre"?... Où est la suite? :')

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  • : Maths Otak'
  • Maths Otak'
  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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