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19 juillet 2011 2 19 /07 /juillet /2011 12:00

L'ensemble Q des nombres rationnels possède la propriété suivante :

 

 

Propriété.Si a et b sont deux nombres rationnels positifs, alors il existe un entier n positif ou nul tel que nab.

 

Preuve.

Je commence avec deux nombres rationnels quelconques a et b. On a donc

avec m,q,p,r entiers et q, r non-nuls.

Pour comparer ces nombres, je les mets au même dénominateur

 

Je vais chercher un entier naturel n tel que na>b.

Si mr>qp, alors a>b donc on peut écrire 1a>b, n=1 convient.

Sinon, je pose

et j'effectue la division euclidienne de qp=q' par mr=m', d'où

avec s<m'. Ainsi (t+1)m'=tm'+m'>tm'+s=q'. L'inégalité

me permet d'obtenir

soit

En prenant n=t+1, on a  na>b.

Fin de la preuve.

 

Q possédant cette propriété est qualifié d'Archimédien.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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