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10 juillet 2011 7 10 /07 /juillet /2011 16:00

Voir Problème de géométrie Japonais

 

Ici je réponds à la question 1 :


Trouver le volume d'un tétraèdre régulier
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif?uselang=fr
Ci-desssous, j'ai dessiné à main levé un tétraèdre régulier ABCD. Comme on ne le voit pas, les arêtes sont toutes de même mesure et les faces des triangles équilatéraux superposables.
http://desmond.imageshack.us/Himg842/scaled.php?server=842&filename=imgp4349.jpg&res=medium

 

Disons que les arêtes ont pour longueur a.

Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire. Ici, je choisis A comme sommet principal et BCD comme base. La formule du volume d'une pyramide est


 


Je trace la hauteur issue de A en rouge. Le pied de la hauteur est le point H de la face BCD.

 http://desmond.imageshack.us/Himg3/scaled.php?server=3&filename=imgp4350l.jpg&res=medium

On a donc d'après la formule

Calcul de l'aire de BCD

Le triangle BCD est équilatéral et les côtés mesurent a. Donc (voir  Aire d'un triangle équilatéral )

Calcul de AH

IMGP4352.JPG

 

Par définition de la hauteur, AH forme des triangles rectangles AHB, AHC, AHC. Dans le triangle rectangle AHB rectangle en H, je vais utiliser le théorème de Pythagore pour calculer AH. Avant cela je dois connaître HB. Je me place dans le triangle BCD.

1) Calcul de HB dans le triangle BCD

J'admettrai le fait suivant : le point H est le centre de la face BCD. Ceci peut s'expliquer en partant du fait que ABCD est un tétraèdre régulier ...... [Je le ferai peut-être plus tard]
Autrement dit, H est le points où concourent les 3 axes de symétries qui sont à la fois les trois médianes, les 3 médiatrices, les trois hauteurs, les 3 bissectrices.
triangle_equi_gravite.png

Le triangle BCD est composé des trois triangles DHB, BHC et CHD. Ces trois triangles ont la même aire. En effet, ils sont superposables. Pourquoi ? Parceque CB=BD=DC tout d'abord, et puis parceque les angles <HCB, <HBC, <HBD, <HDB, <HDC, <HCD sont tous égaux ( les droites passant par H sont les bissectrices).

Donc

Aire(BCD)=Aire(DHB)+Aire(BCH)+Aire(DHB)=3Aire(CHB).


Comme Aire(BCD)=(CB×DS)/2 et Aire(CHB)=(CB×HS)/2, on en déduit que

(CB×DS)/2=3×(CB×HS)/2

d'où HS=DS/3. Ainsi DH=(2/3)×DS

Maintenant pour calculer DH, il faut calculer DS. Cela se fait de la même manière que dans Aire d'un triangle équilatéral  grâce au théorème de Pythagore, [DS] étant la hauteur issue de D. On a

d'où

et de même

 

2)

IMGP4352.JPG

Dans le triangle AHB rectangle en H, on a

AB²=AH²+HB²
D'après la longueur de HB calculée ci-dessus
a²=AH²+(2²×3)a²/(6²)

Donc

AH²=a²(1-12/36)=(24/36)a²=(2/3)a²
d'où 

 

 

 

 

 

Calcul du volume

 

De ce qui précède, on obtient


D'où

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Published by Maths_Buchwald - dans Solides
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