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26 avril 2011 2 26 /04 /avril /2011 12:00

Cette article tente de répondre à la question posée dans Chute de dominos

 

 

 

 


Comment la personne qui a placé les pièces savait-elle que toutes allaient tomber ?

 

Numérotons les dominos dans l'ordre dans lequel ils tombent : 1,2,3,4,5,......

 

Si le domino 1 tombe, il fait tomber le domino 2.

Si le domino 2 tombe, il fait tomber le domino 3.

etc...

 

On peut continuer comme çà mais s'il y a 5 000 dominos, il me faudra 4 997 lignes de plus.

 

Il est plus pratique d'utiliser le principe de récurence :

 

Principe de récurrence.

Etant donnée des propriétés P(1), P(2), P(3), ...........

Si

  • la propriété P(1) est vraie
  • pour tout k, la propriété P(k) implique la propriété suivante P(k+1),

alors la propriété P(n) sera vraie pour tous les n.

 

 

 

Remarque : Le principe de récurrence est un théorème. Il nécessite une démonstration.

 

Je vais utiliser ce théorème pour montrer que tous les dominos devaient tomber.

 

Je note

P(1) : le domino 1 tombe

P(2) : le domino 2 tombe

....

P(n) : le domino n tombe

 

Chacune de ses propriété peut être vraie ou fausse.

 

En poussant le premier domino, on le fait tomber. Donc P(1) (est vraie). 

 

Remarque : je n'écrirai plus est vraie pour dire qu'une propriété est vraie mais simplement le nom de la propriété.

 

En disposant dans l'ordre (un devant et un derrière), et assez proches l'un de l'autre, on est certain que chaque domino numéroté k tombé entraînnera celui qui le suit, le domino k+1. Donc pour tout k, P(k) implique P(k+1).

 

A suivre démonstration du théorème de principe de récurrence...

 

D'après le principe de récurrence, on en déduit que pour tout n : P(n). Autrement dit, tous les dominos tombent. 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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