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19 juin 2011 7 19 /06 /juin /2011 12:00

Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur.

 

Exemple 1 :

Pour trouver le PGCD de 15 et 40, il faut trouver le plus grand des diviseurs que ces nombres ont en commun.

Les diviseurs naturels de 15 sont : 1,3,5,15

Les diviseurs naturels de 40 sont : 1,2,4,5,8,10,20,40

1 et 5 sont les seuls diviseurs communs de 15 et 40. Le PGCD de 15 et 17 est 5, on note PGCD(15,40)=5.

 

 

Exemple 2 :

Trouver le PGCD de 70 et 30 :

Les diviseurs naturels de 70 sont : 1,2,5,7,10,14,35,70

Les diviseurs naturels de 30 sont : 1,2,3,5,6,10,15,30.

1,2,5,10 sont les diviseurs communs de 70 et 30 donc PGCD(30,70)=10.

 

Remarque : Il y a plusieurs façons de déterminer le PGCD de deux nombres, différents articles leurs seront consacrées.

 

Exemple 3 :

Trouver le PGCD de 15 et 17 :

Les diviseurs naturels de 15  : 1,3,5,15

Les diviseurs naturels de 17 : 1,17

Donc PGCD(15,17)=1.

 

Lorsque PGCD(a,b)=1, on dit que les nombres a et b sont premiers entre eux. On dit aussi que a est premier à b ou que b est premier à a.

 

Par exemple, 15 et 17 sont premiers entre eux.

 

Propriété. Si un nombre est premier, alors il est premier à tous les entiers qui n'en sont pas des multiples.

 

En effet les seuls diviseurs naturels d'un nombre premier sont 1 et lui même. Les seuls PGCD possibles sont donc 1 ou le nombre premier si l'autre nombre en est un multiple.

 

Propriété. Si deux nombres distincts sont premiers, alors ils sont premiers entre eux. (Pourquoi ?)

 

D'autres méthodes et des applications, à suivre :  Algorithme d'Euclide

 

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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