Lundi 4 juillet 1 04 /07 /Juil 12:00

Cet article suit Aire du Flocon de Von Koch et Périmètre d'une courbe de Von Koch (2) .

 

Je commence par exprimer l'aire et le périmètre d'un flocon à l'étape (n+1) en fonction de l'aire et du périmètre à l'étape n.

 

J'utilise les notations suivantes

 

 

Périmètre à l'étape n

 

De l'étape n à l'étape n+1, le nombre de côté est multiplié par 4, alors que la longueur d'un côté est divisé par 3. Globalement, le périmètre est multiplié par 4/3. Donc

On en déduit puisque l'aire à l'étape 0 est 3c que

Aire à l'étape n

 

Comme à chaque étape, on ajoute sur chaque côté de l'étape précédent un triangle équilatéral de taille un tiers de côté de l'étape précédente, on a

J'exprime le nombre du côté et la longueur d'un côté à l'étape n en fonction de c et de n

1

 

Ainsi la formule devient

2

 

Or 

4.png

 

D'où

2.png

puis

5.png

 

Pour n=0,1,2,3, on a en particulier :

6.png
7.png
8.png

 

Plus généralement à l'étape n, on a (en utilisant éventuellement une récurence pour s'en convaincre)

10-copie-1.png

 

L'élément

12.png

 

 

est la somme d'une série géométrique de raison 4/9 (plus d'explications sans doute plus tard sur ce blog).
Heureusement, il existe une formule (voir ici) permettant de calculer de telles sommes :

 

 

 

 

Ainsi avec m=n-1, et q valant neuf quarts, on a :

13.png

 

 

D'où

 

14.png

 

Enfin

15.png

 

 

 

 

Merci à :

  •  G. Guidini (son site) qui m'a signalé une coquille. En effet dans la version précédente de cet article, j'avais oublié un facteur 4/9.
  • Tux, Arthur et Mel pour leurs commentaires sur les indices

pour m'avoir signalé les coquilles et motivé pour corriger toutes les formules latex, en espérant qu'il n'y ait plus d'erreur d'indice ou d'oubli.

 

Que dire de l'aire et du périmètre lorsque le nombre d'étape devient infini ?

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Fractales - Communauté : Mathématiques
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