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22 décembre 2010 3 22 /12 /décembre /2010 17:22

Un pentagone régulier (convexe) est un polygone à 5 côtés dont les angles sont égaux.

 

D'après les calculs réalisés dans l'article Angles d'un polygone régulier et comme nous pouvons le voir dans l'article Les polygones réguliers sont inscriptibles dans un cercle, le pentagone régulier est inscriptible dans un cercle et ses angles mesurent 108°.

Les angles de sommet le centre du cercle circonscrit et délimité par deux rayons consécutifs mesurent 360/5=72°

 

pentag2.png

On peut tracer en rouge ci-dessous le pentagramme ADBEC

pentag3.png

Les longueurs OB et OE sont égales car O est le centre du cercle. Comme de plus AB=AE (puisque les 5 côtés du pentagone dont égaux), il s'en suit que (OA) est la médiatrice de [BE]. Ainsi (AO) ┴ (BE).

Remarquons pour commencer que les triangles CBA, BAE, AED, EDC, DCB sont isocèles. Ces triangles ont chacun un angle de 108° et les deux côtés de cet angles sont des côtés du pentagone régulier. Ils sont donc superposables. Les tringles bleus autour de l'étoiles sont eux aussi superposables car un de leur côté est un côté du pentagone régulier et que nous venons de voir qu'ils ont deux angles égaux : par exemple pour celui en haut à gauche : <ABE=<BAC.

 

pentag4-copie-1.png

 Nous avons en calculant la somme des angles du triangle ABP

α+2β = 180°

Donc l'angle <APU vaut 180°-α=2β.


Par ailleurs, puisque le triangle PUA rectangle en U, <APU vaut aussi 90°-γ/2.


On a donc

2β=90°-γ/2.


Mais alors puisque l'angle <BAE = 108°, on a 108°=2β+γ=90°-γ/2+γ d'où

90+γ/2=108°.

Ainsi γ/2=18°. Soit 

γ=36°.

 

Nous venons de prouver que les angles du pentagramme régulier sont de 36°.

pent-copie-1.pngLes côtés du pentagramme sont sécants et on voit apparaitre dans cette étoile un autre pentagone. Nous verrons que ce pentagone est régulier.


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Published by Maths_Buchwald - dans polygones
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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