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28 janvier 2011 5 28 /01 /janvier /2011 12:00

Un nombre entier positif peut se décomposer de plusieurs façons comme somme d'entiers positifs.

 

Par exemple, pour le nombre 4, nous avons ces différentes partitions :

  1. 4=1+1+1+1
  2. 4=2+1+1=1+1+2=1+2+1
  3. 4=2+2=2+2
  4. 4=3+1=1+3
  5. 4=4

Remarquons que dans une partition, seuls les nombres intervenant  dans la somme nous intéressent et non leur ordre. Ainsi 2+1+1 et 1+2+1 et 1+1+2 représentent la même partition. Il ne faut pas les compter plusieurs fois.

 

Imaginons que nous disposons d'une monnaie appelée le mi (monnaie imaginaire). Imaginons que pour cette monnaie, nous disposons de pièces de 1 mi, de pièces de 2 mis, de pièces de 3 mis, etc .... Alors trouver le nombre de partitions de 4 revient à trouver de combien de façons, on peut constituer 4 mis :

  1. 4 pièces de 1 mi
  2. 1 pièce de 1 mi et 2 de 2 mis
  3. 2 pièces de 2 mis
  4. 1 pièce de 3 mis et une de 1 mi
  5. 1 pièce de 4 mis.

Comme l'ordre des termes de la somme n'est pas important, on les range généralement dans l'ordre décroissant pour pouvoir énumérer facilement toutes les partitions sans en oublier une.

 

Les partitions sont souvent représentés à l'aide de schémas appelés diagrammes de Ferrers, du nom du mathématicien Norman Ferrers (1829-1903). Par exemple, pour lenombre 4, voici les différentes partitions représentées à l'aide des diagrammes de Ferrer : 

 

4=4 4=3+1 4=2+2 4=2+1+1 4=1+1+1+1
p4_4.png  p4_3_1.png  p4_2_2.png  p4_2_1_1.png  p4_1_1_1_1.png

 

 

Le nombre de partitions de l'entier 4 est 5, on note p(4)=5.

 

 

 

Récemment, le chercheur Ken Ono et son équipe ont mis au point de nouvelles théories concernant les partitions de nombres, rapprochant les nombres de partitions de la notion de fractale. Voir article ici.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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