Jeudi 28 avril 4 28 /04 /Avr 12:00

Cet article fait suite à : Nombre de diagonales d'un polygone (1) et (2).

pent-copie-2

 

Combien de diagonales possède un polygone à n côtés ?

 

Ici n est un entier naturel quelconque au moins égal à 4. (Un triangle n'a pas de diagonale.)

 

Prenons un sommet du polygone. Il exsite une diagonale reliant ce sommet à tous les autres sommets sauf :

  • lui même
  • les deux sommets auxquels il est déjà relié par un côté chacun.

n étant le nombre total de sommets, on peut donc tracer (n-3) diagonales partant d'un seul sommet.

 

Ainsi chacun des n sommets est une extrémité de (n-3) diagonales.

 

Faisons la somme de toutes les diagonales en partant en les comptant une fois par sommet :

(n-3) + (n-3) + ........+ (n-3) = n×(n-3)

 

Toutes les diagonales ont été comptées. Elles ont même été comptées deux fois !! Puisque chaque diagonale à 2 extrémités !

 

On obtient donc le nombre exact de diagonales en divisant par 2 le produit précédent. Autrement dit, le nombre de diagonales est exactement :

 

diagonale_nb.png

Remarque : n(n-3) est nécessairement un multiple de 2 car c'est le double du nombre de diagonale. Aucun calcul n'a été nécessaire pour le savoir ! On aurait pu l'expliquer par le fait que :

  • si n est pair, n=2m, alors n(n-3)=2m(n-3) est pair lui aussi
  • si n est impair, n=2m'+1, alors c'est n-3=2m'-2=2(m'-1) qui est pair d'où n(n-3)=2n(m'-1) est pair.

On peut trouver cette formule d'une autre façon en utilisant les combinaisons (dont un article futur fera l'objet sur ce blog) : voir


Nombre de diagonales d'un polygone (4)

Par Maths_Buchwald - Publié dans : polygones - Communauté : Mathématiques
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