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28 avril 2011 4 28 /04 /avril /2011 12:00

Cet article fait suite à : Nombre de diagonales d'un polygone (1) et (2).

pent-copie-2

 

Combien de diagonales possède un polygone à n côtés ?

 

Ici n est un entier naturel quelconque au moins égal à 4. (Un triangle n'a pas de diagonale.)

 

Prenons un sommet du polygone. Il exsite une diagonale reliant ce sommet à tous les autres sommets sauf :

  • lui même
  • les deux sommets auxquels il est déjà relié par un côté chacun.

n étant le nombre total de sommets, on peut donc tracer (n-3) diagonales partant d'un seul sommet.

 

Ainsi chacun des n sommets est une extrémité de (n-3) diagonales.

 

Faisons la somme de toutes les diagonales en partant en les comptant une fois par sommet :

(n-3) + (n-3) + ........+ (n-3) = n×(n-3)

 

Toutes les diagonales ont été comptées. Elles ont même été comptées deux fois !! Puisque chaque diagonale à 2 extrémités !

 

On obtient donc le nombre exact de diagonales en divisant par 2 le produit précédent. Autrement dit, le nombre de diagonales est exactement :

 

diagonale_nb.png

Remarque : n(n-3) est nécessairement un multiple de 2 car c'est le double du nombre de diagonale. Aucun calcul n'a été nécessaire pour le savoir ! On aurait pu l'expliquer par le fait que :

  • si n est pair, n=2m, alors n(n-3)=2m(n-3) est pair lui aussi
  • si n est impair, n=2m'+1, alors c'est n-3=2m'-2=2(m'-1) qui est pair d'où n(n-3)=2n(m'-1) est pair.

On peut trouver cette formule d'une autre façon en utilisant les combinaisons (dont un article futur fera l'objet sur ce blog) : voir


Nombre de diagonales d'un polygone (4)

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Published by Maths_Buchwald - dans polygones
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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