Mardi 7 juin 2 07 /06 /Juin 12:00

Définition On appelle la médiatrice d'un segment la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

 

Les propriétés suivantes sont admises 

 

Propriété 1. Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités du segment.

 

 

Propriété 2. Si un point est équidistant des extrémités du segment., alors il est sur la médiatrice de ce segment.

 

On peut fusionner ces deux propriété dans une seule phrase :

 

médiatrice

 

Théorème. Un point est sur la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités du segment.

 

Sur la figure ci-contre le point M est équidistant de A et B, il appartient à la médiatrice en vert.

 

La propriété 1 sert à prouver que MA=MB (càd M est équidistant de A et de B) à condition que l'on sache que M est sur la médiatrice de [AB].

 

Réciproquement, si l'on sait que MA=MB, on pourra déduire de la propriété 2 que M est un point de la médiatrice de [AB].

 

 

 

 

 

 

Propriété 3. Si un point appartient aux médiatrices de deux côtés d'un triangle, alors il appartient aussi à la médiatrice du troisième côté.

 

3mediatrices-copie-1.png

 

On dit que les 3 médiatrices du triangle sont concourentes.

 

Remarque  : C'est une propriété du même type que celle concernant les hauteurs d'un triangle et l'orthocentre. Pour démontrer celle concernant les hauteurs, j'ai utilisé la propriété 3. Je n'ai pas respecté l'ordre chronologique, cependant, mon raisonnement est logique. Attention, je ne pourrais pas utiliser la propriété sur les hauteurs pour prouver propriété 3.

 

Démonstration de la propriété 3.

 

3mediatrices_preuve1.pngOn suppose que les deux médiatrices en vert se coupent en un point O.

 

Il faut expliquer pourquoi O est aussi un point de la troisième médiatrice.

 

Comme O est sur la médiatrice de [CD], on a OC=OD.

Comme O est sur la médiatrice de [DE], on a OD=OE.

 

Mais alors OC=OD=OE.

 

En particulier, OC=OE ce qui prouve que O est sur la troisième médiatrice, celle de [CE]. (voir figure au dessus)

 

Fin de la démonstration.

 

Le point O d'intersection des trois médiatrices vérifie donc OC=OD=OE. On peut tracer un cercle de centre O passant par C,D et E : C'est le cercle circonscrit du triangle CDE.

http://img809.imageshack.us/img809/8994/cerclecirconscrit.png

 

 

Autre article : Le centre du cercle circonscrit est sur la droite d'Euler.

 

A suivre ....


Par Maths_Buchwald - Publié dans : Triangles - Communauté : Mathématiques
Ecrire un commentaire - Voir les 0 commentaires
Retour à l'accueil

Recherche

Twitter

Mes vidéos

Présentation

  • : Maths Otak'
  • Maths Otak'
  • : Jeux Vidéo Arts Architecture Maths Perspective Culture
  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
  • Partager ce blog
  • Retour à la page d'accueil
  • Contact

Syndication

  • Flux RSS des articles
 
Créer un blog gratuit sur over-blog.com - Contact - C.G.U. - Rémunération en droits d'auteur - Signaler un abus - Articles les plus commentés