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17 décembre 2010 5 17 /12 /décembre /2010 11:56

Cas des triangles

 

      Les triangles sont inscriptibles dans un cercle. Autrement dit, étant donnés trois points non-alignés, il existe un cercle passant par ces trois points. Ce cercle est unique et son centre est le point d'intersection des médiatrices (les 3 !) des côtés du triangle.

 

cerc_1.png

Je n'ai pas démontré ce fait, mais je peux le faire si vous me le demandez en commentaire.

 

Remarque : Le centre Ω (Omega) du cercle circonscrit Γ (Gamma) du triangle ABC est sur les trois médiatrices. En pratique, il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir ce point. Le rayon de Γ est la distance ΩA=ΩB=ΩC.

 

En particulier un triangle équilatéral est inscriptible dans un cercle.

 

Cas des polygones réguliers

 

Je vais vous convaincre que la propriété suivante est vraie. (Je l'espère)

 

Propriété : Si un polygone est régulier, alors il est inscriptible dans un cercle. Ce cercle est unique.

 

poly_cer.png

 

Autrement dit,  pour tout polygone régulier, il existe un cercle passant par tous les sommets. Ce cercle est unique.

 

"Démonstration"

Je m'occupe du cas d'un polygone à 7 sommets (un heptagone).

Si l'heptagone BACDEFG possède un cercle circonscrit, il passe par au moins trois points ! En l'occurence il doit passer par D, E et F. Un tel cercle existe, c'est le cercle circonscrit du triangle DEF. Le cercle circonscrit de l'heptagone est donc unique (s'il existe).

Appelons Γ le cercle circonscrit au triangle DEF. Je vais montrer que Γ passe aussi par G, B, A et C. 

poly_cer2.png

Le centre de Γ, appelons-le Ω, est le point d'intersection des médiatrices de [EF] et [ED]. La médiatrice de [FD], notée k passe aussi par  Ω.


Comme l'heptagone est régulier : FE=ED (voir ici) . Ainsi FED est un triangle isocèle en E et la médiatrice de [FD] est un axe de symétrie du triangle FED, en particulier k passe par E. En outre k partage l'angle <FED en deux angles égaux : <FEΩ = <ΩED=<FED/2.

 


Par ailleurs, ΩF = ΩE = ΩD car Ω est le centre de Γ. Donc les triangles FEΩ et ΩED sont isocèles en Ω et on a les égalités d'angles :


 <FEΩ = <FEΩ = <ΩED=<EDΩ=<FED/2

poly_cer3.png

 

Sur la figure, je joins les autres sommets du polygone à  Ω. Pour prouver que ces points sont aussi sur Γ, je vais montrer que les triangles ainsi formés de sommet commun Ω sont tous isocèles en Ω. En effet on aura ainsi :

ΩF=ΩE=ΩD=ΩC=ΩA=ΩB=ΩG, 

ce qui prouvera que  Γ passe par tous les sommets du polygone.

poly_cer4.png

 Comme <FED=<EDC, et que <EDΩ=<FED/2, on a : <ΩDC =<EDC-<EDΩ= <FED/2.

 

Donc <EDΩ=<ΩDC.

 

Le triangle EDC est isocèle en D et (DΩ) est la bissectrice de l'angle <EDC. C'est donc un axe de symétrie du triangle ED C et c'est aussi la médiatrice de [EC]. D'où C et E sont équidistants de Ω. Autrement dit : ΩD=ΩC.

 

En continuant ainsi, on montre successivement que

ΩC=ΩA, ΩA=ΩB et ΩB=ΩG. La preuve est donc faite.

 

Pour un polygone régulier convexe quelconque, on peut procéder de même, quitte à utiliser un raisonnement par récurrence (pour le passage "on montre successivement que ....").

 

Cette propriété nous permettra de montrer prochainement qu'il existe une formule permettant de calculer les angles d'un polygone régulier convexe.

 

Le cas d'un polygone non convexe n'a pas été traité.

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Published by Maths_Buchwald - dans polygones
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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