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15 décembre 2010 3 15 /12 /décembre /2010 10:28

Dans  A la recherche du nombre d'or (Episode 6 : suite de Fibonacci) et dans A la recherche du nombre d'or (Episode 7 : Fibonacci et les lapins), je vous avais un peu parlé de la suite de Fibonacci.

 

Définition

 

La suite de Fibonacci est la suite de nombre

                                   1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Chaque terme se déduit des deux précédents en calculant leur somme.

Ainsi, on peut continuer la suite :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54

 

Définition formelle

 

Les deux premiers termes de la suite de Fibonacci sont

fibo_init.png

Pour tout entier n supérieur ou égale à 1, on pose :

fibo_n.png

La suite est bien définie, on dit qu'elle est définie par récurence. Je ne le prouverai pas car cela est ennuyeux. Vous pouvez le faire vous même si vous connaissez les raisonnement par récurence. Cela consiste à prouver clairement que pour tout m le terme d'indice m est calculable.

 

Remarque


De la formule précédente, on obtient :

fibo_rec2.png

Cela nous permet de calculer les termes de la suite de Fibonacci vers la gauche, c'est à dire de calculer les termes de la suite à partir des deux suivants. Chaque terme est la différence du deuxième terme suivant par celui juste suivant. Par exemple : 5=13-8 ou 21=54-33.

 

Extension

Cette nouvelle formule permet aussi de calculer les termes de la suite de Finbonacci d'indice négatif. On a donc :

(*)                                                      .....-8, 5, -3, 2, -1,1, 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54.....

 

Définition formelle


La suite de Fibonacci (étendue) est définie par la donnée de :fibo_init.png

Les termes d'indice positif sont calculés à partir de la formule

fibo_n.png

Les termes d'indice inférieure ou égal à 0 sont calculés à partir de la formule

fibo_rec2.png

 

Encore une fois il faudrait prouver que cette définition établit bien l'existence de tous les termes d'indice négatifs de cette suite.

Remarque

 

On voit facilement à partir des nouveaux termes (*) calculés vers la gauche :  

  .....-8, 5, -3, 2, -1,1, 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54.....

que

conj.png

 

Conjecture

 

Les observations suivantes nous donnent une conjecture sur les termes d'indice négatif de la suite de Fibonacci : Pour n entier naturel (donc positif) :

Fneg.png

Démonstration

 

Nous allons faire une preuve par récurrence.

D'après la remarque l'étape d'initialisation est validée. En effet les 2 cas possibles n pair (n=2) et n impair (n=1) ont été vus. (n=0 convient aussi pour le cas pair)

Supposons que la formule de la conjecture soit vrai pour tout k positif inférieur ou égal à n (c'est notre hypothèse de récurence). Montrons qu'elle le reste pour n+1. Deux cas sont possibles : n-1 est pair ou n est impair.

Si n+1 est pair, n est pair donc n est impair on a

fibnn-copie-1.png

en utilisant 2 fois notre hypothèse de récurrence.

Cela correspond bien à ce que l'on voulait montrer dans le cas où n+1 est pair. Si n+1 est impair, avec un raisonnement similaire on obtient que

fibnn-copie-2.png

La formule est donc héréditaire. La preuve est faite qu'elle est prouvée pour tout n naturel (et même n relatif !).

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombre d'or
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