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1 mars 2011 2 01 /03 /mars /2011 12:00

Le symbole \infin (infini) est utilisé dans l'apprentissage mathématique à partir du lycée. Cependant ce mot est connu et j'ai pu constater que dès la sixième les élèves n'hésitent pas à l'utiliser.

 

Ce qui est infini pour un élève de 6ème : les nombres, les droites.

 

En mathématiques, l'infini s'oppose au fini. Considérons l'ensemble N des nombres naturels :

 

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15...................................................................}

 

On peut sélectionner des éléments de N :

  • exemple 1 : les nombres pairs : {0, 2, 4, 6, 8, 10, .....}
  • exemple 2 : les nombres compris entre 4 et 12 : {4,5,6,7,8,9,10,11,12}
  • exemple 3 : les nombres impairs compris entre 4 et 12 : {5,7,9,11}

Ces trois exemples sont des sous-ensembles de N. Dans ces trois exemples, il y a un nombre plus petit que les autres. Dans l'exemple 1, c'est 0; dans l'exemple 2, c'est 4; dans l'exemple 3, c'est 5. Mais à chaque fois 0 est plus petit que tous les nombres du sous-ensemble.

 

Remarque : dans les ensembles les nombres sont appelés éléments.

 

naturels_sou_ens.png

Le deuxième sous-ensemble possède un élément plus grand que les autres : 12.

Le troisième en possède un plus grand que les autres 11.

Pour le premier sous-ensemble, il n'y a pas d'élément plus grand que les autres. En effet, s'il y avait un nombre pair plus grand que les autres, on en trouverai encore un plus grand en lui ajoutant 2. On dit alors que le sous-ensemble des nombres pairs est infini.

 

On peut compter le nombre d'éléments d'un sous-ensemble de N :

  • si il y a un nombre plus grand que les autres : on peut les compter un par un, on est sur de s'arêter en arrivant au plus grand nombre.
  • sinon, inutile de compter, l'ensemble est infini.

Par exemple, le sous-ensemble dont les éléments sont les mutliples de 5 est infini.

 

Le nombre d'éléments d'un ensemble est appelé son cardinal.

 

Exemples :

  1. Le cardinal du sous-ensemble {3,5,7,9,2} est égal à 5 car cet ensemble a 5 éléments.
  2. Le cardinal du sous-ensemble des nombres impairs est égal à \infin.

Pour le moment je n'ai pas fait d'opérations avec \infin, ce sera l'objet d'un futur article.

 

 

 

Article précédent : L'infini, entre Opalka et Chuck Norris


 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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