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13 décembre 2013 5 13 /12 /décembre /2013 18:00

L'ensemble R² : présentation

Construction

 

L'ensemble R des nombres réels peut être représenté par une droite

Un nombre réel est un point de cet axe : voir X ci-dessous

 



 

Sortons de cet axe et prenons un point M en dehors dans le plan

 

 

Ce point peut lui aussi être considéré comme un nombre. Pour cela, un deuxième axe est nécessaire :

 

18-copie-2.png


Ce point correspond à deux nombres réels : un pour le premier axe (abscisse) et un pour le deuxième axe (ordonnée). Ces deux nombres (abscisse et ordonnée) sont les coordonnées de M.

 

En partant de l'ensemble R des nombres réels, on peut donc former l'ensemble R×R noté aussi . Il est constitué des couples de nombres (x,y) où x et y sont des nombres réels.

 


Sur le dessin M=(a,b) et X devrait plutôt être noté (X,0).

 

Remarque : sur la figure les axes sont perpendiculaires, car on les représente souvent comme cela, mais ce n'est pas nécessaire. Ce qui est nécessaire est que les deux axes soient sécants en un point ayant pour coordonnées 0 et 0. L'un jouera le rôle de l'axe des abscisses et l'autre celui de l'axe des ordonnées.

 

Opérations

Comme on peut additionner les nombres réels, il est aussi possible d'additionner les nombres de .

Par exemple

(2;-3)+(7;3)=(9;0)

On comprend rapidement comment fonctionne l'addition dans R² :


Définition. Si (a,b) et (x,y) sont deux nombres de R², alors leur somme est 

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)

 

On dit que l'on ajoute (x,y) à (a,b).

 

Remarquons que
 

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)=(x+a,y+b)=(x,y)+(a,b)

 

Autrement dit, dans une somme (ou addition) l'ordre des termes n'est pas important. On dit que l'addition est commutative (on peut commuter les termes).

 

Remarque typographique. pour séparer les deux coordonnées, on utilise une virgule, mais pour éviter toute confusion, j'emploie parfois un point-virgule lorsqu'il s'agit de nombres en chiffres.

 

Propriété/Définition. Pour tout couple (a,b) de réels, il existe un unique couple (x,y) tel que 

(a,b)+(x,y)=(0,0).

Ce couple est (-a,-b) et on le note -(a,b). On l'appelle l'opposé de (a,b).

 

Démonstration.


(a,b)+(x,y)=(0,0) si et seulement si (par définition) (a+x,b+y)=(0,0). Autrement dit
(a,b)+(x,y)=(0,0) si et seulement si a+x=0 et b+y=0 ce qui équivaut encore à a=-x et b=-y. D'où le résultat.

 

Notation. (0,0) est noté tout simplement 0. Dans les opérations il ne peut pas y avoir d'ambiguité puisque l'addition n'est définie que pour deux réels ou pour deux élément de .

On comprend alors, suivant le contexte, si 0 désigne un élément de R ou un éléùet de .

 

On dit que 0 est un élément neutre pour l'addition. Cela est vrai dans R et dans . Un prochain article sera consacré à ce que l'on appelle un élément neutre. Aussi bien dans R et dans , il n'y a qu'un seul élément neutre pour l'addition.

 

Définition/Notation. Soustraire un nombre à un autre nombre de c'est lui ajouter son opposé. La soustraction de (a,b) par (x,y) se note (a,b)-(x,y)=(a-x,b-y).

 

Peut-on faire d'autres opérations dans , multiplication ou division ? Peut-on faire des opérations entre des éléments de R et des éléments de ?

 

A suivre...


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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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