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11 juin 2011 6 11 /06 /juin /2011 12:00

 

Combien y a-t-il de nombres premiers ? Disons qu'il y en a beaucoup, comme nous avons déjà pu le constater et appelons P le plus grand d'entre eux. Il n'y a plus de nombre premier après P.

 

J'appelle A= 1×2×3×4.........×(P-1)×P, le produit de tous les entiers naturels non-nuls plus petits que P. Ce nombre est plus grand que P, il bien plus que son double. J'appelle ensuite B=A+1= 1×2×3×4.........×(P-1)×P+1, c'est l'entier qui lui succède.

 

Je vais montrer que B est un nombre premier. Autrement dit, je vais expliquer pourquoi aucun nombre ne peut le diviser à part 1 et lui-même. Imaginons, qu'il existe un tel nombre d qui divise B, on a B=qd (q étant naturel) :

  • Cas 1 : si d est plus petit que P, alors il divise A également, on a A=rd (r étant naturel), ainsi B-A=qd-rd=(q-r)d, mais B-A=1, donc d=1. Et B est premier. Hein ?

  • Cas 2 : Si d est plus grand que P, d n'est pas premier car P est le plus grand des premiers, donc d est divisible par un entier d' que l'on peut choisir plus petit que P. (Pourquoi?). Le nombre d' est un diviseur de B qui nous ramène au cas 1. Ainsi B est premier.

 

Dans tous les cas, B est premier, j'avais donc menti en prétendant que P était le plus grand des premiers. En procédant de la sorte, on voit que les nombres premiers peuvent être aussi grands que l'on veut. Il y en a donc une infinité.

FIN de la PREUVE.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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