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2 mars 2011 3 02 /03 /mars /2011 12:00

Cet article fait suite à :

Dans le troisième article, nous avons vu que la seule façon de tronquer un icosaèdre pour obtenir des hexagones réguliers à la place des triangles est de partager les côtés du triangle en trois parties égales, puis de rejoindre les parties centrales pour obtenir l'hexagone.

 

Ce qu'il reste à voir : en coupant ainsi les triangles : 5 triangles à la fois (imaginons que l'icosaèdre soit en beurre ...) on a un pentagone. On obtient donc un pentagone à la place du sommet coupé : il faut qu'il soit régulier.

 

icos1.png icos11.png 
SABCDE semble être une pyramide régulière de base pentagonale ABCDE.

 On tronque l'icosaèdre avec le plan passant par les points T,U, V,W,Z.

SU = 1/3 SC, SV= 1/3 SD, SW=1/3 SE, SZ=1/3 SA, ST=1/3 SB.

Remarquons que d'après la propriété de Thalès : la pyramide STUVWZ est une réduction du solide SABCDE. Celui-ci est une pyramide.

 

 

Les points UVWZT sont équidistants de S. Comme ils, sont dans un même plan, il sont sur un même cercle, limitant la base d'un cône droit de sommet S.  Comme les côtés du pentagone sont de même longueur, c'est un pentagone régulier.

 

Cette "démonstration" manque de rigueur. Il faudrait expliquer pourquoi le découpage à 1/3 d'un sommet est possible mathématiquement, puis expliquer l'histoire du cone droit plus en détail. J'espère au moins que vous serez convaincu que l'on obtient bien un pentagone régulier.

 

En faisant le même découpage en tous les sommets de l'icosaèdre, on obtient des pentagones régulier.

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Published by Maths_Buchwald - dans Solides
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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