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23 février 2011 3 23 /02 /février /2011 12:00

Cet article fait suite à :

Les faces d'un icosaèdres sont des triangles. On peut tronquer un icosaèdre de façon à obtenir comme faces des polygones réguliers. Comme les triangles sont tous de même dimension et sont équilatéraux, il suffit de couper comme ci-dessous les triangles : obtenant des hexagones réguliers.

tri eq hexa

  Dans l'hexagone, l'angle formé entre un côté du triangle et un segment rouge coupant celui-ci. En coupant parallèlement à un côté du triangle, on obtient trois triangles au coins du triangle de départ dont les trois angles mesurent 60°. En effet, dans le triangle équilatéral de départ les trois angles mesurent 60°. Ainsi les 6 angles de l'hexagone vaudront 180-60=120°. Reste à savoir à quel niveau, on peut les couper.

 

tri_coupe_tier.pngD'après la propriété de Thalès, si l'on joint les deux côtés d'un triangle, au tiers de la longueur des côtés en partant d'un sommet, le segment obtenu est parallèle au troisième côté et mesure le tiers de celui-ci.

 

Ci-contre, D et E sont au tiers respectifs de [AB] et [AC]. Ainsi, [DE]//[BC] et DE=BC/3.

 

En procédant ainsi (voir figure en haut), les trois côtés de l'hexagone non sur le bord du triangle sont bien parallèles aux côtés du triangles (donc les angles sont tous égaux d'après le premier paragraphe) et  les côtés de l'hexagone mesurent tous un tiers du côté du triangle laissant un tiers du côté du triangle (1-2/3=1/3) pour les côtés sur le bord.

 

Ainsi l'hexagone a 6 côtés égaux et 6 angles égaux. Il est régulier.

 

En coupant de même toutes les faces de l'icosaèdre, on est assuré que tous les hexagones de l'icosaèdre tronqué ainsi obtenu sont superposables et réguliers.

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/31/Truncatedicosahedron.gif

 

Qu'en est-il des pentagones de l'icosaèdre tronqué ? Nous le verrons plus tard, pour cela, il pourra d'abord être utile de regarder différement l'icosaèdre régulier...

 


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Published by Maths_Buchwald - dans Solides
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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